exprimidos através dos estados \{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle\}, que são normalizados e ortogonais.
a) Obtenha os estados normalizados \left|\psi_{N}\right\rangle e \left|\varphi_{N}\right\rangle.
b) Obtenha funções de onda \psi_{N}(x) e \phi_{N}(x) correspondentes na representação das posições em
termos de funções de onda a(x):=\langle x \mid a\rangle, b(x):=\langle x \mid b\rangle e c(x):=\langle x \mid c\rangle que são ortogonais e normalizadas ao longo de x \in(-\infty, \infty).
c) Calcule o produto escalar
[4 pontos]
\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} x \varphi_{N}^{*}(x) \psi_{N}(x)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes estados expressos na base ortonormal \{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle\}:
(a) Obter os estados normalizados \left|\psi_{N}\right\rangle e \left|\varphi_{N}\right\rangle.
(b) Obter as funções de onda \psi_{N}(x) e \phi_{N}(x) na representação de posição em termos de a(x):=\langle x\mid a\rangle, b(x):=\langle x\mid b\rangle e c(x):=\langle x\mid c\rangle.
(c) Calcular o produto escalar \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\,\varphi_{N}^{*}(x)\psi_{N}(x).
Informações relevantes dadas:
A base \{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle\} é ortonormal: \langle a|a\rangle=\langle b|b\rangle=\langle c|c\rangle=1 e \langle a|b\rangle=\langle a|c\rangle=\langle b|c\rangle=0.
As funções de onda base a(x),b(x),c(x) são ortogonais e normalizadas no intervalo x\in(-\infty,\infty).
Passo 2
Conceito e fórmula para normalizar um estado.
Se um estado é |\chi\rangle=\sum_{j} c_j |j\rangle numa base ortonormal, o quadrado da norma é
\langle \chi|\chi\rangle=\sum_j |c_j|^2.
Para normalizar, divide-se o estado pela norma \sqrt{\langle\chi|\chi\rangle}, obtendo |\chi_N\rangle = \dfrac{|\chi\rangle}{\sqrt{\langle\chi|\chi\rangle}}.
Aplicando a fórmula a |\psi\rangle. Primeiro calcule \langle\psi|\psi\rangle. Os coeficientes de |\psi\rangle na base |a\rangle,|b\rangle,|c\rangle são, respectivamente, \mathrm{i},\,2,\,-2\mathrm{i}. Logo
Passagem para a representação de posição (funções de onda).
Definição: a função de onda correspondente a um ket |\chi\rangle é \chi(x)=\langle x\mid \chi\rangle. Se |\chi\rangle=\sum_j c_j |j\rangle e j(x):=\langle x\mid j\rangle, então por linearidade
\chi(x)=\sum_j c_j\, j(x).
Usando isso para os estados normalizados obtidos:
Para \left|\psi_N\right\rangle (pegando os coeficientes de \left|\psi_N\right\rangle):
Observação: essas expressões usam explicitamente a(x),b(x),c(x) que foram dadas como ortonormais.
Passo 5
Cálculo do produto escalar \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\,\varphi_N^{*}(x)\psi_N(x).
Pelo isomorfismo entre produto escalar em espaço de kets e integral das funções de onda, tem-se
É mais simples calcular \langle\varphi_N|\psi_N\rangle usando os coeficientes na base ortonormal. Os coeficientes de \left|\psi_N\right\rangle são \dfrac{\mathrm{i}}{3},\\ \dfrac{2}{3},\\\ -\dfrac{2\mathrm{i}}{3} para a,b,c respectivamente. Os coeficientes de \left|\varphi_N\right\rangle são \dfrac{3\mathrm{i}}{5},\\\ 0,\\\ -\dfrac{4}{5}.