Exercício 3: Representação das posições

Consideramos os seguintes estados:
\begin{aligned} & |\psi\rangle=\mathrm{i}|a\rangle+2|b\rangle-2 \mathrm{i}|c\rangle, \\\ & |\varphi\rangle=3 \mathrm{i}|a\rangle-4|c\rangle, \end{aligned}
exprimidos através dos estados \{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle\}, que são normalizados e ortogonais.
a) Obtenha os estados normalizados \left|\psi_{N}\right\rangle e \left|\varphi_{N}\right\rangle.
b) Obtenha funções de onda \psi_{N}(x) e \phi_{N}(x) correspondentes na representação das posições em
termos de funções de onda a(x):=\langle x \mid a\rangle, b(x):=\langle x \mid b\rangle e c(x):=\langle x \mid c\rangle que são ortogonais e normalizadas ao longo de x \in(-\infty, \infty).
c) Calcule o produto escalar
[4 pontos]
\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} x \varphi_{N}^{*}(x) \psi_{N}(x)

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes estados expressos na base ortonormal \{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle\}:
|\psi\rangle=\mathrm{i}|a\rangle+2|b\rangle-2 \mathrm{i}|c\rangle,
|\varphi\rangle=3 \mathrm{i}|a\rangle-4|c\rangle.
Perguntas pedidas:
  • (a) Obter os estados normalizados \left|\psi_{N}\right\rangle e \left|\varphi_{N}\right\rangle.
  • (b) Obter as funções de onda \psi_{N}(x) e \phi_{N}(x) na representação de posição em termos de a(x):=\langle x\mid a\rangle, b(x):=\langle x\mid b\rangle e c(x):=\langle x\mid c\rangle.
  • (c) Calcular o produto escalar \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\,\varphi_{N}^{*}(x)\psi_{N}(x).
Informações relevantes dadas:
  • A base \{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle\} é ortonormal: \langle a|a\rangle=\langle b|b\rangle=\langle c|c\rangle=1 e \langle a|b\rangle=\langle a|c\rangle=\langle b|c\rangle=0.
  • As funções de onda base a(x),b(x),c(x) são ortogonais e normalizadas no intervalo x\in(-\infty,\infty).

Passo 2

Conceito e fórmula para normalizar um estado.
Se um estado é |\chi\rangle=\sum_{j} c_j |j\rangle numa base ortonormal, o quadrado da norma é
\langle \chi|\chi\rangle=\sum_j |c_j|^2.
Para normalizar, divide-se o estado pela norma \sqrt{\langle\chi|\chi\rangle}, obtendo |\chi_N\rangle = \dfrac{|\chi\rangle}{\sqrt{\langle\chi|\chi\rangle}}.
Aplicando a fórmula a |\psi\rangle. Primeiro calcule \langle\psi|\psi\rangle. Os coeficientes de |\psi\rangle na base |a\rangle,|b\rangle,|c\rangle são, respectivamente, \mathrm{i},\,2,\,-2\mathrm{i}. Logo
\langle\psi|\psi\rangle = |\mathrm{i}|^2 + |2|^2 + |-2\mathrm{i}|^2.
Calcule cada termo: |\mathrm{i}|^2=1, |2|^2=4, |-2\mathrm{i}|^2=4. Portanto
\langle\psi|\psi\rangle = 1+4+4 = 9.
A norma é \sqrt{9}=3.

Passo 3

Normalizando |\psi\rangle. Dividimos por 3:
\left|\psi_N\right\rangle = \frac{1}{3}\left(\mathrm{i}|a\rangle+2|b\rangle-2\mathrm{i}|c\rangle\right).
Agora faça o mesmo para |\varphi\rangle. Os coeficientes são 3\mathrm{i},\,0,\,-4. Então
\langle\varphi|\varphi\rangle = |3\mathrm{i}|^2 + |0|^2 + |-4|^2 = 9 + 0 + 16 = 25.
A norma é \sqrt{25}=5. Portanto o estado normalizado é
\left|\varphi_N\right\rangle = \frac{1}{5}\left(3\mathrm{i}|a\rangle-4|c\rangle\right).

Passo 4

Passagem para a representação de posição (funções de onda).
Definição: a função de onda correspondente a um ket |\chi\rangle é \chi(x)=\langle x\mid \chi\rangle. Se |\chi\rangle=\sum_j c_j |j\rangle e j(x):=\langle x\mid j\rangle, então por linearidade
\chi(x)=\sum_j c_j\, j(x).
Usando isso para os estados normalizados obtidos:
Para \left|\psi_N\right\rangle (pegando os coeficientes de \left|\psi_N\right\rangle):
\psi_N(x)=\langle x\mid\psi_N\rangle = \frac{1}{3}\big(\mathrm{i}\,a(x)+2\,b(x)-2\mathrm{i}\,c(x)\big).
Para \left|\varphi_N\right\rangle:
\phi_N(x)=\langle x\mid\varphi_N\rangle = \frac{1}{5}\big(3\mathrm{i}\,a(x)-4\,c(x)\big).
Observação: essas expressões usam explicitamente a(x),b(x),c(x) que foram dadas como ortonormais.

Passo 5

Cálculo do produto escalar \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\,\varphi_N^{*}(x)\psi_N(x).
Pelo isomorfismo entre produto escalar em espaço de kets e integral das funções de onda, tem-se
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\,\varphi_N^{*}(x)\psi_N(x)=\langle\varphi_N|\psi_N\rangle.
É mais simples calcular \langle\varphi_N|\psi_N\rangle usando os coeficientes na base ortonormal. Os coeficientes de \left|\psi_N\right\rangle são \dfrac{\mathrm{i}}{3},\\ \dfrac{2}{3},\\\ -\dfrac{2\mathrm{i}}{3} para a,b,c respectivamente. Os coeficientes de \left|\varphi_N\right\rangle são \dfrac{3\mathrm{i}}{5},\\\ 0,\\\ -\dfrac{4}{5}.
A regra do produto escalar é
\langle\varphi_N|\psi_N\rangle = \sum_{j\in\{a,b,c\}} \overline{(\text{coef}_{\varphi_N,j})}\,(\text{coef}_{\psi_N,j}).
Calcule termo a termo:
Termo a:
\overline{\left(\frac{3\mathrm{i}}{5}\right)}\cdot\frac{\mathrm{i}}{3} = \left(-\frac{3\mathrm{i}}{5}\right)\cdot\frac{\mathrm{i}}{3} = -\frac{3\mathrm{i}^2}{15} = -\frac{3(-1)}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.
Termo b:
\overline{0}\cdot\frac{2}{3}=0.
Termo c:
\overline{\left(-\frac{4}{5}\right)}\cdot\left(-\frac{2\mathrm{i}}{3}\right) = \left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\left(-\frac{2\mathrm{i}}{3}\right)=\frac{8\mathrm{i}}{15}.
Somando os termos:
\langle\varphi_N|\psi_N\rangle = \frac{1}{5} + \frac{8\mathrm{i}}{15}.
Colocando em denominador comum 15:
\langle\varphi_N|\psi_N\rangle = \frac{3+8\mathrm{i}}{15}.
Portanto
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\,\varphi_N^{*}(x)\psi_N(x)=\frac{3+8\mathrm{i}}{15}.

Resposta

\left|\psi_{N}\right\rangle=\dfrac{1}{3}\big(\mathrm{i}|a\rangle+2|b\rangle-2\mathrm{i}|c\rangle\big), \left|\varphi_{N}\right\rangle=\dfrac{1}{5}\big(3\mathrm{i}|a\rangle-4|c\rangle\big)
\psi_{N}(x)=\dfrac{1}{3}\big(\mathrm{i}\,a(x)+2\,b(x)-2\mathrm{i}\,c(x)\big), \phi_{N}(x)=\dfrac{1}{5}\big(3\mathrm{i}\,a(x)-4\,c(x)\big)
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\,\varphi_{N}^{*}(x)\psi_{N}(x)=\dfrac{3+8\mathrm{i}}{15}

Exercícios relacionados