(a) Escreva a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido cujo deslocamento é dado por x=A e^-gamma t sin (omega t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido. Nosso ponto de partida é a fórmula do deslocamento:
x = A e^-gamma t sin(omega t)
Aqui, A é a amplitude, gamma é a taxa de amortecimento, e omega é a frequência angular. Para achar velocidade e aceleração, precisamos derivar essa expressão em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a primeira derivada do deslocamento em relação ao tempo. Então, vamos derivar x:
v = dxdt
Aplicando a regra do produto e a derivada de funções exponenciais e trigonométricas, temos:

Passo 3

Calculando a derivada:
v = ddt( A e^-gamma t sin(omega t) )
Usamos a regra do produto:
v = A ddt(e^-gamma t) sin(omega t) + A e^-gamma t ddt(sin(omega t))
Derivando cada parte:
ddt(e^-gamma t) = -gamma e^-gamma t
ddt(sin(omega t)) = omega cos(omega t)
Substituindo:
v = A (-gamma e^-gamma t) sin(omega t) + A e^-gamma t omega cos(omega t)
Simplificando:
v = A e^-gamma t ( -gamma sin(omega t) + omega cos(omega t) )

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a segunda derivada do deslocamento ou a primeira derivada da velocidade. Vamos derivar a expressão da velocidade que obtivemos:
a = dvdt
Usando novamente a regra do produto:

Passo 5

Derivando a velocidade:
a = ddt( A e^-gamma t ( -gamma sin(omega t) + omega cos(omega t) ) )
Aplicando a regra do produto:
a = A ddt(e^-gamma t) (-gamma sin(omega t) + omega cos(omega t)) + A e^-gamma t ddt(-gamma sin(omega t) + omega cos(omega t))
Calculando as derivadas:
ddt(e^-gamma t) = -gamma e^-gamma t
ddt(-gamma sin(omega t) + omega cos(omega t)) = -gamma omega cos(omega t) - omega^2 sin(omega t)
Substituindo:
a = A (-gamma e^-gamma t) (-gamma sin(omega t) + omega cos(omega t)) + A e^-gamma t (-gamma omega cos(omega t) - omega^2 sin(omega t))
Simplificando:
a = A e^-gamma t ( gamma^2 sin(omega t) - gamma omega cos(omega t) - gamma omega cos(omega t) - omega^2 sin(omega t) )
Agrupando os termos:
a = A e^-gamma t ( (gamma^2 - omega^2) sin(omega t) - 2gamma omega cos(omega t) )

Resposta

Portanto, as expressões são:
Velocidade:
v = A e^-gamma t ( -gamma sin(omega t) + omega cos(omega t) )
Aceleração:
a = A e^-gamma t ( (gamma^2 - omega^2) sin(omega t) - 2gamma omega cos(omega t) )

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