(a) Escreva a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido cujo deslocamento é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido. Nosso ponto de partida é a fórmula do deslocamento:
Aqui,
é a amplitude,
é a taxa de amortecimento, e
é a frequência angular. Para achar velocidade e aceleração, precisamos derivar essa expressão em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a primeira derivada do deslocamento em relação ao tempo. Então, vamos derivar
:
Aplicando a regra do produto e a derivada de funções exponenciais e trigonométricas, temos:
Passo 3
Calculando a derivada:
Usamos a regra do produto:
Derivando cada parte:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a segunda derivada do deslocamento ou a primeira derivada da velocidade. Vamos derivar a expressão da velocidade que obtivemos:
Usando novamente a regra do produto:
Passo 5
Derivando a velocidade:
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Resposta
Portanto, as expressões são:
Velocidade:
Aceleração: