Escreva as expressões abaixo na forma convencional:
12+1/((4*a)/45)^(1/2)=

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expressão abaixo na forma convencional:
12+\frac{1}{\left(\frac{4a}{45}\right)^{1/2}}.
Informações fornecidas: a expressão original é 12+\dfrac{1}{\left(\dfrac{4a}{45}\right)^{1/2}}. A tarefa é simplificar/colocar em forma mais convencional usando propriedades de radicais e frações.

Passo 2

Entender o que significa o expoente 1/2. Sempre que temos \left(\,\cdot\,\right)^{1/2} isso é a mesma coisa que a raiz quadrada do que está dentro:
\left(\frac{4a}{45}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{4a}{45}}.
Isso vem da definição: x^{1/2}=\sqrt{x}. Aqui x é \dfrac{4a}{45}.

Passo 3

Reescrevendo a expressão usando raiz quadrada:
12+\frac{1}{\sqrt{\dfrac{4a}{45}}}.
Agora vamos simplificar a raiz do quociente usando uma propriedade básica de raízes.

Passo 4

Propriedade útil: para p\ge 0 e q>0 vale
\sqrt{\frac{p}{q}}=\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}.
Aqui podemos aplicar com p=4a e q=45. A ideia é que a raiz da divisão é a divisão das raízes (isso vem da definição da raiz como potência: \sqrt{p/q}=(p/q)^{1/2}=p^{1/2} q^{-1/2}=\sqrt p / \sqrt q).

Passo 5

Aplicando a propriedade:
\sqrt{\frac{4a}{45}}=\frac{\sqrt{4a}}{\sqrt{45}}.
Podemos separar \sqrt{4a} em \sqrt{4}\sqrt{a} porque \sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}.

Passo 6

Calcule as raízes óbvias:
\sqrt{4}=2,\qquad \sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}.
Substituindo em \dfrac{\sqrt{4a}}{\sqrt{45}} obtemos
\sqrt{\frac{4a}{45}}=\frac{2\sqrt{a}}{3\sqrt{5}}.

Passo 7

Agora calcule o inverso da raiz (porque na expressão original temos 1 dividido por essa raiz):
\frac{1}{\sqrt{\dfrac{4a}{45}}=\frac{2\sqrt{a}}{3\sqrt{5}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\dfrac{2\sqrt{a}}{3\sqrt{5}}}=\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{a}}.
Regra usada: o inverso de uma fração \dfrac{u}{v} é \dfrac{v}{u}.

Passo 8

Substituindo esse resultado na expressão original, temos a forma simplificada
12+\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{a}}.
Isso já é uma forma convencional e mais simples que a original.

Passo 9

Opcional — racionalizar o denominador (remover raiz do denominador). Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{a}:
\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{3\sqrt{5}\sqrt{a}}{2a}=\frac{3\sqrt{5a}}{2a}.
Portanto a expressão equivalente com denominador racionalizado é
12+\frac{3\sqrt{5a}}{2a}.

Resposta

12+\dfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{a}}
12+\dfrac{3\sqrt{5a}}{2a}

Exercícios relacionados