Escreva as expressōes abaixo na notaçāo de raízes.
3^{-5 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão 3^{-5/2} e pede que ela seja escrita na notação de raízes (ou seja, usando radicais). Informação relevante: a expressão original é exatamente 3^{-5/2}. A tarefa é transformar essa potência fracionária e negativa em uma forma com radicais, e simplificar quando possível.

Passo 2

Regras úteis que vamos usar (explicadas de forma bem clara):
  • Regra do expoente negativo: para qualquer base positiva a e expoente k>0,
a^{-k}=\frac{1}{a^{k}}.
Isto significa que o sinal negativo do expoente inverte a fração colocando a^{k} no denominador.
  • Regra do expoente fracionário: para a>0 e inteiros m,n com n>0,
a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{m}.
Aqui n é o índice da raiz (por exemplo n=2 é raiz quadrada) e m é a potência aplicada à base antes ou depois de extrair a raiz.
Vou explicar intuitivamente: a parte de baixo da fração do expoente indica qual raiz tirar; a parte de cima indica a potência a ser aplicada.

Passo 3

Aplicando as regras à nossa expressão 3^{-5/2}.
Primeiro, interpreto o expoente fracionário com sinal negativo:
3^{-5/2}=\sqrt[2]{3^{-5}},
porque a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}} e aqui m=-5, n=2. Outra forma imediatamente equivalente é usar a regra do expoente negativo para obter
3^{-5/2}=\frac{1}{\sqrt[2]{3^{5}}}.
Ambas as expressões estão em notação de raízes; a segunda já tira o sinal negativo do expoente colocando 3^{5} no denominador dentro da raiz.

Passo 4

Agora vamos simplificar a parte dentro da raiz para ficar numa forma mais prática para uma prova. Calcular 3^{5}:
3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81,\quad 3^{5}=243.
Portanto
3^{-5/2}=\frac{1}{\sqrt{243}}.

Passo 5

Simplificar \sqrt{243} extraindo fatores quadrados. Fatorando 243 temos
243=81\cdot 3 \quad\text{e}\quad 81=9^{2}.
Então
\sqrt{243}=\sqrt{81\cdot 3}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{3}=9\sqrt{3}.
Substituindo na expressão:
3^{-5/2}=\frac{1}{9\sqrt{3}}.

Passo 6

Se for desejável apresentar a forma com o denominador racionalizado (sem raiz no denominador), multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{1}{9\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{27}.
Ambas as formas \dfrac{1}{9\sqrt{3}} e \dfrac{\sqrt{3}}{27} são equivalentes; a segunda já não tem radical no denominador.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{27}

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