Escreva as expressões para a função y(x, t) para uma onda senoidal propagando na direção negativa de x sabendo-se que ymax =40 cm, lambda=30 cm, f=10 Hz com as seguintes condições iniciais:
y(x, 0)=0 em x=3,75 cm;
Resposta: 1-y(x, t)=40 cos (20 pi t+20 pi / 3 x+pi / 4) cm, se phi=pi / 4,
2- y(x, t)=40 cos (20 pi t+20 pi / 3 x+5 pi / 4)(cm), se phi=5 pi 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de ondas senoidais, que faz parte da matéria de Física, mais especificamente de Ondulatória. A gente precisa encontrar a expressão matemática que descreve uma onda que está se propagando na direção negativa do eixo $ x $. Para isso, vamos precisar usar conceitos como amplitude, comprimento de onda, frequência, número de onda e a relação entre eles. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais dadas para determinar a fase da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Amplitude máxima ($ y_{\max} $): 40 cm
  • Comprimento de onda ($ \lambda $): 30 cm
  • Frequência ($ f $): 10 Hz
  • Condição inicial: $ y(x, 0) = 0 $ quando $ x = 3,75 $ cm

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo do eixo $ x $:
x
Onde:
  • $ y(x, t) $ é a posição da partícula da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $.
  • $ y_{\max} $ é a amplitude máxima da onda.
  • $ k $ é o número de onda.
  • $ \omega $ é a frequência angular.
  • $ \phi $ é a fase inicial da onda.
  • O sinal $ \pm $ indica a direção de propagação da onda. O sinal negativo é usado para ondas que se propagam na direção positiva do eixo $ x $ e o sinal positivo para a direção negativa.
Como a onda está se propagando na direção negativa de $ x $, usamos o sinal positivo:
y(x, t) = ymax cos(kx pm omega t + phi)

Passo 4

Vamos calcular o número de onda ($ k k ê \omega $) usando as fórmulas:
omega
k = 2pilambda
Substituindo os valores:
omega = 2pi f
k = 2pi30, cm = pi15, cm^-1

Passo 5

Agora, substituímos $ k $ e $ \omega $ na equação da onda:
k
Podemos simplificar $ \frac{\pi}{15}x $ para ficar com um denominador comum:
omega çã
Então, a equação fica:
y(x, t) = 40, cm times cos(pi15x + 20pi t + phi)

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(x, 0) = 0 $ quando $ x = 3,75 $ cm. Substituindo esses valores na equação:
y(x, 0) = 0
x = 3,75
0 = 40, cm times cos(20pi times 0 + 20pi3 times 3,75 + phi)
Sabemos que $ \cos(\theta) = 0 $ quando $ \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é um número inteiro. Então:
0 = 40, cm times cos(75pi3 + phi)
Resolvendo para $ \phi $:
0 = 40, cm times cos(25pi + phi)
cos(theta) = 0
Para simplificar, escolhemos valores de $ n $ que nos dão $ \phi $ no intervalo $ [0, 2\pi) $:
Para $ n = 0 $:
theta = pi2 + npi ú
n
Para $ n = 1 $:
25pi + phi = pi2 + npi
phi
Portanto, temos duas possíveis fases iniciais que satisfazem a condição inicial.

Resposta

  1. $ y(x, t) = 40 \cos\left(20 \pi t + \frac{20 \pi}{3} x + \frac{\pi}{4}\right) $ cm, se $ \phi = \frac{\pi}{4} $,
  2. $ y(x, t) = 40 \cos\left(20 \pi t + \frac{20 \pi}{3} x + \frac{5\pi}{4}\right) $ cm, se $ \phi = \frac{5\pi}{4} $.

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