Escreva as expressões para a função
para uma onda senoidal propagando na direção negativa de
sabendo-se que
com as seguintes condições iniciais:
em
;
Resposta:
, se
,
2-
, se
.
Resposta:
2-
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de ondas senoidais, que faz parte da matéria de Física, mais especificamente de Ondulatória. A gente precisa encontrar a expressão matemática que descreve uma onda que está se propagando na direção negativa do eixo $ x $. Para isso, vamos precisar usar conceitos como amplitude, comprimento de onda, frequência, número de onda e a relação entre eles. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais dadas para determinar a fase da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
- Amplitude máxima ($ y_{\max} $): 40 cm
- Comprimento de onda ($ \lambda $): 30 cm
- Frequência ($ f $): 10 Hz
- Condição inicial: $ y(x, 0) = 0 $ quando $ x = 3,75 $ cm
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo do eixo $ x $:
Onde:
- $ y(x, t) $ é a posição da partícula da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $.
- $ y_{\max} $ é a amplitude máxima da onda.
- $ k $ é o número de onda.
- $ \omega $ é a frequência angular.
- $ \phi $ é a fase inicial da onda.
- O sinal $ \pm $ indica a direção de propagação da onda. O sinal negativo é usado para ondas que se propagam na direção positiva do eixo $ x $ e o sinal positivo para a direção negativa.
Como a onda está se propagando na direção negativa de $ x $, usamos o sinal positivo:
Passo 4
Vamos calcular o número de onda ($ k
\omega $) usando as fórmulas:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, substituímos $ k $ e $ \omega $ na equação da onda:
Podemos simplificar $ \frac{\pi}{15}x $ para ficar com um denominador comum:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(x, 0) = 0 $ quando $ x = 3,75 $ cm. Substituindo esses valores na equação:
Sabemos que $ \cos(\theta) = 0 $ quando $ \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é um número inteiro. Então:
Resolvendo para $ \phi $:
Para simplificar, escolhemos valores de $ n $ que nos dão $ \phi $ no intervalo $ [0, 2\pi) $:
Para $ n = 0 $:
Para $ n = 1 $:
Portanto, temos duas possíveis fases iniciais que satisfazem a condição inicial.
Resposta
-
$ y(x, t) = 40 \cos\left(20 \pi t + \frac{20 \pi}{3} x + \frac{\pi}{4}\right) $ cm, se $ \phi = \frac{\pi}{4} $,
-
$ y(x, t) = 40 \cos\left(20 \pi t + \frac{20 \pi}{3} x + \frac{5\pi}{4}\right) $ cm, se $ \phi = \frac{5\pi}{4} $.