Escreva as expressões para a tensão elétrica e a corrente elétrica (assumindo que a indutância de dispersão do rotor seja zero) em uma barra do rotor localizada a um ângulo \theta em relação ao pico de \vec{B}_{\mathrm{ms}}(t).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos (escrevo em linguagem direta para não confundir).
  • Pedido: escrever as expressões para a tensão elétrica e para a corrente elétrica numa barra do rotor que está situada num ângulo \theta em relação ao pico de \vec{B}_{\mathrm{ms}}(t).
  • Informação dada/assumida explicitamente pelo enunciado: a indutância de dispersão do rotor é zero (ou seja, a resposta elétrica do circuito do rotor é puramente resistiva instantaneamente).
  • Informação que precisamos usar e que vou declarar para trabalhar de forma clara (estas letras serão usadas nas fórmulas seguintes):
    • B_{m}: amplitude máxima do campo magnético rotante gerado pelo estator (módulo de \vec{B}_{\mathrm{ms}}).
    • \omega_{s}: velocidade angular do campo magnético do estator (velocidade síncrona).
    • \omega_{r}: velocidade angular do rotor (rodando com o rotor).
    • \omega_{\mathrm{sl}}=\omega_{s}-\omega_{r}: velocidade angular relativa entre campo e rotor (frequência de escorregamento).
    • A_{\rm eff}: área efetiva que liga o fluxo ao condutor (comprimento ativo do condutor vezes a largura/altura efetiva que intercepta o fluxo) — isto depende dos detalhes geométricos do rotor; vou manter como símbolo genérico A_{\rm eff}.
    • R: resistência elétrica da barra (incluindo anel de curto-circuito associado) pela qual a corrente circula.
      Observação: não começo a resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e as quantidades que vou usar.

Passo 2

Modelagem do campo magnético rotante espaço-tempo (ideia física básica).
  • Um campo sinusoidal rotante no espaço e no tempo pode ser escrito (no referencial do estator) como
\vec{B}_{\mathrm{ms}}(r,\varphi,t)=B_{m}\cos\!\bigl(\varphi-\omega_{s}t\bigr)\,\hat{u}
onde \varphi é a coordenada angular espacial (posição em torno do eixo), \omega_{s} é a velocidade angular do campo, B_{m} é a amplitude e \hat{u} é a direção (não precisamos do vetor completo aqui, só da dependência escalar em \varphi e t).
  • Intuição: o pico do campo está em ângulo \varphi=\omega_{s}t. À medida que t evolui, o pico gira com velocidade \omega_{s}.

Passo 3

Posição da barra do rotor e definição do ângulo \theta.
  • Seja a barra do rotor presa ao rotor e com posição angular inicial (no instante t=0) dada por \phi_{r}(0)=\theta em relação ao pico inicial do campo. A posição angular da barra no tempo é
\phi_{r}(t)=\theta+\omega_{r}t.
  • O argumento do campo visto pela barra é \phi_{r}(t)-\omega_{s}t. Substituindo,
\phi_{r}(t)-\omega_{s}t=\theta+\omega_{r}t-\omega_{s}t=\theta-\omega_{\mathrm{sl}}t,
onde \omega_{\mathrm{sl}}=\omega_{s}-\omega_{r} é a velocidade relativa (frequência de escorregamento).
  • Conclusão prática: a barra “vê” um campo que varia no tempo com frequência \omega_{\mathrm{sl}} e fase inicial \theta.

Passo 4

Campo magnético que efetivamente corta a barra em função do tempo.
  • O valor escalar do fluxo magnético por unidade de área no local da barra é, portanto,
B(t)=B_{m}\cos\!\bigl(\theta-\omega_{\mathrm{sl}}t\bigr).
Explicação rápida: se o rotor não girasse ( \omega_{r}=0) então \omega_{\mathrm{sl}}=\omega_{s} e o campo varia com \omega_{s}; se o rotor acompanhasse exatamente o campo ( \omega_{r}=\omega_{s}) então \omega_{\mathrm{sl}}=0 e a barra veria um campo estacionário no tempo.

Passo 5

Fluxo magnético vinculado à barra (definição e simplificação).
  • Se A_{\rm eff} é a área efetiva que transforma o \emph{B} local em fluxo ligado ao circuito associado à barra, a fluxinação instantânea é
\Phi(t)=A_{\rm eff}\,B(t)=A_{\rm eff}\,B_{m}\cos\!\bigl(\theta-\omega_{\mathrm{sl}}t\bigr).
  • Observação didática: aqui tratei a barra como um condutor que “vê” um fluxo que varia no tempo; A_{\rm eff} agrupa comprimento axial da barra e a dimensão radial/azimutal que intercepta o fluxo.

Passo 6

Tensão (força eletromotriz) induzida pela variação do fluxo — Faraday.
  • A Lei de Faraday diz que a força eletromotriz instantânea induzida é
e(t)=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}.
  • Derivando \Phi(t):
\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=A_{\rm eff}B_{m}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cos\!\bigl(\theta-\omega_{\mathrm{sl}}t\bigr) = A_{\rm eff}B_{m}\,\omega_{\mathrm{sl}}\sin\!\bigl(\theta-\omega_{\mathrm{sl}}t\bigr).
  • Aplicando o sinal da lei de Faraday:
e(t)=-A_{\rm eff}B_{m}\,\omega_{\mathrm{sl}}\sin\!\bigl(\theta-\omega_{\mathrm{sl}}t\bigr).
  • Podemos reescrever usando a identidade -\sin(\theta-\omega_{\mathrm{sl}}t)=\sin(\omega_{\mathrm{sl}}t-\theta) para apresentar a forma mais usual (fase no argumento):
e(t)=A_{\rm eff}B_{m}\,\omega_{\mathrm{sl}}\sin\!\bigl(\omega_{\mathrm{sl}}t-\theta\bigr).
  • Interpretação: a tensão induzida é sinusoidal com frequência \omega_{\mathrm{sl}} (frequência de escorregamento) e amplitude A_{\rm eff}B_{m}\omega_{\mathrm{sl}}.

Passo 7

Corrente elétrica na barra quando a indutância de dispersão do rotor é zero (resposta ôhmica).
  • A hipótese “indutância de dispersão do rotor é zero” implica que não há reatância indutiva significativa para o circuito do rotor nessa aproximação, então a relação tensão-corrente instantânea é puramente ôhmica (Lei de Ohm instantânea). Assim
i(t)=\frac{e(t)}{R}.
  • Substituindo a expressão de e(t):
i(t)=\frac{A_{\rm eff}B_{m}\,\omega_{\mathrm{sl}}}{R}\,\sin\!\bigl(\omega_{\mathrm{sl}}t-\theta\bigr).
  • Interpretação física: corrente também é senoidal com a mesma frequência \omega_{\mathrm{sl}}, defasada pelo ângulo \theta (posição angular da barra em relação ao pico do campo) e com amplitude proporcional a \omega_{\mathrm{sl}} e inversamente proporcional a R.

Passo 8

Resumo das variáveis e observações finais rápidas (motivação para prova).
  • Variáveis usadas:
    • B_{m}: amplitude do campo magnético do estator.
    • \omega_{\mathrm{sl}}=\omega_{s}-\omega_{r}: frequência de escorregamento (diferença entre velocidade do campo e do rotor).
    • A_{\rm eff}: área efetiva de fluxo ligada ao condutor (depende da geometria).
    • R: resistência elétrica do caminho do rotor para a corrente da barra.
  • Observação prática para prova: se pedirem amplitude, use E_{\max}=A_{\rm eff}B_{m}\omega_{\mathrm{sl}} e I_{\max}=E_{\max}/R. Se a entrada pedir sinais em função do tempo, use as formas senoidais que obtivemos.

Resposta

e(t)=A_{\rm eff}\,B_{m}\,\omega_{\mathrm{sl}}\sin\!\bigl(\omega_{\mathrm{sl}}t-\theta\bigr)
i(t)=\dfrac{A_{\rm eff}\,B_{m}\,\omega_{\mathrm{sl}}}{R}\,\sin\!\bigl(\omega_{\mathrm{sl}}t-\theta\bigr)

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