Escreva as expressões para a tensão elétrica e a corrente elétrica (assumindo que a indutância de dispersão do rotor seja zero) em uma barra do rotor localizada a um ângulo
em relação ao pico de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos (escrevo em linguagem direta para não confundir).
- Pedido: escrever as expressões para a tensão elétrica e para a corrente elétrica numa barra do rotor que está situada num ângulo
em relação ao pico de . - Informação dada/assumida explicitamente pelo enunciado: a indutância de dispersão do rotor é zero (ou seja, a resposta elétrica do circuito do rotor é puramente resistiva instantaneamente).
- Informação que precisamos usar e que vou declarar para trabalhar de forma clara (estas letras serão usadas nas fórmulas seguintes):
-
: amplitude máxima do campo magnético rotante gerado pelo estator (módulo de ). -
: velocidade angular do campo magnético do estator (velocidade síncrona). -
: velocidade angular do rotor (rodando com o rotor). -
: velocidade angular relativa entre campo e rotor (frequência de escorregamento). -
: área efetiva que liga o fluxo ao condutor (comprimento ativo do condutor vezes a largura/altura efetiva que intercepta o fluxo) — isto depende dos detalhes geométricos do rotor; vou manter como símbolo genérico . -
: resistência elétrica da barra (incluindo anel de curto-circuito associado) pela qual a corrente circula.
Observação: não começo a resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e as quantidades que vou usar.
-
Passo 2
Modelagem do campo magnético rotante espaço-tempo (ideia física básica).
- Um campo sinusoidal rotante no espaço e no tempo pode ser escrito (no referencial do estator) como
onde
é a coordenada angular espacial (posição em torno do eixo),
é a velocidade angular do campo,
é a amplitude e
é a direção (não precisamos do vetor completo aqui, só da dependência escalar em
e
).
- Intuição: o pico do campo está em ângulo
. À medida que evolui, o pico gira com velocidade .
Passo 3
Posição da barra do rotor e definição do ângulo
.
- Seja a barra do rotor presa ao rotor e com posição angular inicial (no instante
) dada por em relação ao pico inicial do campo. A posição angular da barra no tempo é
- O argumento do campo visto pela barra é
. Substituindo,
onde
é a velocidade relativa (frequência de escorregamento).
- Conclusão prática: a barra “vê” um campo que varia no tempo com frequência
e fase inicial .
Passo 4
Campo magnético que efetivamente corta a barra em função do tempo.
- O valor escalar do fluxo magnético por unidade de área no local da barra é, portanto,
Explicação rápida: se o rotor não girasse (
) então
e o campo varia com
; se o rotor acompanhasse exatamente o campo (
) então
e a barra veria um campo estacionário no tempo.
Passo 5
Fluxo magnético vinculado à barra (definição e simplificação).
- Se
é a área efetiva que transforma o \emph{B} local em fluxo ligado ao circuito associado à barra, a fluxinação instantânea é
- Observação didática: aqui tratei a barra como um condutor que “vê” um fluxo que varia no tempo;
agrupa comprimento axial da barra e a dimensão radial/azimutal que intercepta o fluxo.
Passo 6
Tensão (força eletromotriz) induzida pela variação do fluxo — Faraday.
- A Lei de Faraday diz que a força eletromotriz instantânea induzida é
- Derivando
:
- Aplicando o sinal da lei de Faraday:
- Podemos reescrever usando a identidade
para apresentar a forma mais usual (fase no argumento):
- Interpretação: a tensão induzida é sinusoidal com frequência
(frequência de escorregamento) e amplitude .
Passo 7
Corrente elétrica na barra quando a indutância de dispersão do rotor é zero (resposta ôhmica).
- A hipótese “indutância de dispersão do rotor é zero” implica que não há reatância indutiva significativa para o circuito do rotor nessa aproximação, então a relação tensão-corrente instantânea é puramente ôhmica (Lei de Ohm instantânea). Assim
- Substituindo a expressão de
:
- Interpretação física: corrente também é senoidal com a mesma frequência
, defasada pelo ângulo (posição angular da barra em relação ao pico do campo) e com amplitude proporcional a e inversamente proporcional a .
Passo 8
Resumo das variáveis e observações finais rápidas (motivação para prova).
- Variáveis usadas:
-
: amplitude do campo magnético do estator. -
: frequência de escorregamento (diferença entre velocidade do campo e do rotor). -
: área efetiva de fluxo ligada ao condutor (depende da geometria). -
: resistência elétrica do caminho do rotor para a corrente da barra.
-
- Observação prática para prova: se pedirem amplitude, use
e . Se a entrada pedir sinais em função do tempo, use as formas senoidais que obtivemos.