Escreva
como uma série de potências através da derivação da série de
.
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever
como uma série de potências, obtida através da diferenciação da série de
.
Informações dadas / úteis que vamos usar:
- Queremos a série de potências centrada em
(série de Maclaurin) para . - Vamos partir da série de Maclaurin de
, avaliá‑la em e depois diferenciar termo a termo para chegar em .
Passo 2
Apresentando a série de Maclaurin de
(essa é uma série padrão; explico por que vale logo em seguida):
Breve justificativa didática: os coeficientes vêm da fórmula de Taylor em
,
e as derivadas de
em
alternam entre
seguindo o padrão que gera apenas potências ímpares com sinais
. Essa série converge para todo
(raio de convergência infinito).
Passo 3
Agora substituímos
para obter a série de
. Coloco o texto fora do bloco e a fórmula em bloco (regra de formatação):
Passo 4
Podemos diferenciar essa série termo a termo porque uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência. Como a série de
tem raio de convergência infinito, a diferenciação termo a termo é válida para todo
. Ao diferenciar
obtemos
.
Passo 5
Diferenciando a série termo a termo: para um termo geral
temos
Agora calculamos
. Usando a regra da potência e a derivada de
(que é
):
Substituindo:
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Somando sobre
e lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas, temos
Dividindo ambos os lados por
para isolar
,
Passo 7
Podemos reescrever
. Assim uma forma comum da série é
Para ver como ficam os primeiros termos, expandindo os primeiros
:
ou