Escreva f(x)=\cos (2 x)(x \in \mathbb{R}) como uma série de potências através da derivação da série de \operatorname{sen}(2 x).

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever \,f(x)=\cos(2x)\,(x\in\mathbb{R}) como uma série de potências, obtida através da diferenciação da série de \sin(2x).
Informações dadas / úteis que vamos usar:
  • Queremos a série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin) para \cos(2x).
  • Vamos partir da série de Maclaurin de \sin, avaliá‑la em 2x e depois diferenciar termo a termo para chegar em \cos(2x).

Passo 2

Apresentando a série de Maclaurin de \sin z (essa é uma série padrão; explico por que vale logo em seguida):
\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Breve justificativa didática: os coeficientes vêm da fórmula de Taylor em 0,
\sin z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin^{(k)}(0)}{k!}z^{k},
e as derivadas de \sin em 0 alternam entre 0,\pm1 seguindo o padrão que gera apenas potências ímpares com sinais (-1)^n. Essa série converge para todo z\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito).

Passo 3

Agora substituímos z=2x para obter a série de \sin(2x). Coloco o texto fora do bloco e a fórmula em bloco (regra de formatação):
\sin(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Podemos diferenciar essa série termo a termo porque uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência. Como a série de \sin tem raio de convergência infinito, a diferenciação termo a termo é válida para todo x\in\mathbb{R}. Ao diferenciar \sin(2x) obtemos 2\cos(2x).

Passo 5

Diferenciando a série termo a termo: para um termo geral
a_n(x)=(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!},
temos
\frac{d}{dx}a_n(x)=(-1)^{n}\frac{d}{dx}\left((2x)^{2n+1}\right)\frac{1}{(2n+1)!}.
Agora calculamos \dfrac{d}{dx}(2x)^{2n+1}. Usando a regra da potência e a derivada de 2x (que é 2):
\frac{d}{dx}(2x)^{2n+1}=(2n+1)(2x)^{2n}\cdot 2.
Substituindo:
\frac{d}{dx}a_n(x)=(-1)^{n}\frac{(2n+1)\cdot 2\,(2x)^{2n}}{(2n+1)!}.
Simplificando \dfrac{2n+1}{(2n+1)!}=\dfrac{1}{(2n)!}, obtemos
\frac{d}{dx}a_n(x)=(-1)^{n}2\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}.

Passo 6

Somando sobre n e lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas, temos
\frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}.
Dividindo ambos os lados por 2 para isolar \cos(2x),
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}.

Passo 7

Podemos reescrever (2x)^{2n}=2^{2n}x^{2n}=4^{n}x^{2n}. Assim uma forma comum da série é
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{4^{n}x^{2n}}{(2n)!}.
Para ver como ficam os primeiros termos, expandindo os primeiros n:
\cos(2x)=1-\frac{(2x)^{2}}{2!}+\frac{(2x)^{4}}{4!}-\frac{(2x)^{6}}{6!}+\cdots
ou
\cos(2x)=1- \frac{4x^{2}}{2!}+\frac{16x^{4}}{4!}-\frac{64x^{6}}{6!}+\cdots.

Resposta

\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{4^{n}x^{2n}}{(2n)!}.

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