Escreva na forma polar:
(b) -3+3 \sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma polar o número complexo -3 + 3\sqrt{3}\,i.
O conteúdo aqui é representação polar de números complexos, que envolve calcular o módulo r e o argumento \theta.

Passo 2

Para encontrar o módulo r usamos a definição r = \sqrt{(\Re z)^2 + (\Im z)^2} onde \Re z = -3 e \Im z = 3\sqrt{3}. Portanto,
r = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6.

Passo 3

Para determinar o argumento \theta, calculamos
\tan\theta = \frac{\Im z}{\Re z} = \frac{3\sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{3}.
Como \Re z<0 e \Im z>0, o ponto está no segundo quadrante, onde o ângulo correspondente a \tan\theta=-\sqrt{3} é
\theta = \frac{2\pi}{3}.

Passo 4

Agora escrevemos o número na forma polar. Usando a notação r(\cos\theta + i\sin\theta) ou re^{i\theta}, temos
-3 + 3\sqrt{3}\,i = 6\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{3} + i\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = 6e^{i\frac{2\pi}{3}}.

Resposta

6\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{3} + i\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr) ou 6e^{i\frac{2\pi}{3}}

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