Escreva na forma polar:
(b) \left(\cos \frac{\pi}{5}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{5}\right)\left(\cos \frac{\pi}{11}-i \operatorname{sen} \frac{\pi}{11}\right)

Passo 1

O enunciado pede o produto \bigl(\cos \tfrac{\pi}{5}+i\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{5}\bigr)\bigl(\cos \tfrac{\pi}{11}-i\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{11}\bigr)
escrito na forma polar (módulo e argumento). Vamos usar que \cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta = e^{i\theta}
e que o módulo do produto é o produto dos módulos, enquanto o argumento do produto é a soma dos argumentos.

Passo 2

Reescrevendo cada fator em forma exponencial temos \cos \tfrac{\pi}{5}+i\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{5} = e^{i\pi/5}
e \cos \tfrac{\pi}{11}-i\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{11} = e^{-\,i\pi/11}.
Como ambos têm módulo 1, o módulo do produto continua 1, e o argumento é
\frac{\pi}{5} + \Bigl(-\frac{\pi}{11}\Bigr) \,=\,\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{11}.

Passo 3

Calculando a diferença de frações:
\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{11} =\frac{11\pi-5\pi}{55} =\frac{6\pi}{55}.
Assim o produto é
e^{\,i\,\frac{6\pi}{55}} \;=\; \cos\frac{6\pi}{55} \;+\; i\,\operatorname{sen}\frac{6\pi}{55}.

Resposta

\cos\frac{6\pi}{55}+i\,\operatorname{sen}\frac{6\pi}{55}

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