Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa:
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo
na forma retangular ou polar (ou converter entre as formas). As informações dadas são exatamente os termos da soma e que
é a unidade imaginária (ou seja,
). Não há outras condições.
Passo 2
Vamos lembrar as potências básicas de
. Isso é fundamental para simplificar a soma. Por definição temos:
e a sequência se repete a cada quatro potências. Aqui expliquei cada passo:
é a propriedade que define a unidade imaginária; multiplicando
por
obtemos
.
Passo 3
Substituímos as potências conhecidas na soma original. Começando com
substituindo
e
obtemos
Passo 4
Agora somamos termo a termo. Agrupando as partes reais e imaginárias:
a parte real é e a parte imaginária é
. Portanto
a parte real é
Passo 5
Explico rapidamente as duas formas pedidas:
- Forma retangular (ou cartesiana) de um número complexo é
, onde é a parte real e a parte imaginária. Aqui e , logo a forma retangular é (que normalmente escrevemos apenas ). - Forma polar usa o módulo
e o argumento com a representação . As fórmulas de conversão são
No nosso caso
e
, então
Quando
o ângulo
é indeterminado (qualquer ângulo representa o ponto origem), por isso a forma polar é simplesmente
(ou
).
Resposta
Retangular:
Polar:
Polar: