Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa:
1+j+j^{2}+j^{3}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
1 + j + j^{2} + j^{3}
na forma retangular ou polar (ou converter entre as formas). As informações dadas são exatamente os termos da soma e que j é a unidade imaginária (ou seja, j^{2}=-1). Não há outras condições.

Passo 2

Vamos lembrar as potências básicas de j. Isso é fundamental para simplificar a soma. Por definição temos:
j^1 = j,
j^2 = -1,
j^3 = j^2\cdot j = (-1)\cdot j = -j,
j^4 = 1,
e a sequência se repete a cada quatro potências. Aqui expliquei cada passo: j^2=-1 é a propriedade que define a unidade imaginária; multiplicando j^2 por j obtemos j^3.

Passo 3

Substituímos as potências conhecidas na soma original. Começando com
1 + j + j^{2} + j^{3},
substituindo j^{2}=-1 e j^{3}=-j obtemos
1 + j + (-1) + (-j).

Passo 4

Agora somamos termo a termo. Agrupando as partes reais e imaginárias:
a parte real é 1 + (-1)=0 e a parte imaginária é j + (-j)=0. Portanto
1 + j + j^{2} + j^{3} = 0 + j\,0 = 0.

Passo 5

Explico rapidamente as duas formas pedidas:
  • Forma retangular (ou cartesiana) de um número complexo é \,x + j\,y, onde x é a parte real e y a parte imaginária. Aqui x=0 e y=0, logo a forma retangular é \,0 + j\,0 (que normalmente escrevemos apenas 0).
  • Forma polar usa o módulo r e o argumento \theta com a representação r\angle\theta. As fórmulas de conversão são
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x).
No nosso caso x=0 e y=0, então
r=\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0.
Quando r=0 o ângulo \theta é indeterminado (qualquer ângulo representa o ponto origem), por isso a forma polar é simplesmente 0 (ou 0\angle\text{indefinido}).

Resposta

Retangular: 0 + j\,0
Polar: 0\angle\text{indefinido}

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