Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa:
\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+j \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+j\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)
nas formas retangular e polar (ou vice‑versa). Informação dada: a expressão já está na forma que mistura trigonometria com a unidade imaginária j. Não vamos resolver nada ainda; só anotar que precisamos obter a forma retangular (coeficiente real + j vezes coeficiente imaginário) e a forma polar (módulo e argumento).

Passo 2

Calcular os valores trigonométricos fundamentais usados:
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}
Aqui usei tabelas trigonométricas usuais: para \pi/4 (45°), seno e cosseno valem ambos \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Montar a forma retangular substituindo os valores:
z=\frac{\sqrt{2}}{2}+j\frac{\sqrt{2}}{2}
Explicação: forma retangular é sempre da forma a+j b, onde a é a parte real e b a parte imaginária. Neste caso a=\frac{\sqrt{2}}{2} e b=\frac{\sqrt{2}}{2}. Podemos também fatorar:
z=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j).

Passo 4

Agora vamos para a forma polar: primeiro calculamos o módulo r. Fórmula usada:
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a e b são, respectivamente, as partes real e imaginária do número complexo a+j b. Substituindo:
r=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Detalhe didático: elevando \frac{\sqrt{2}}{2} ao quadrado dá \frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular o argumento \theta. Fórmula prática:
\theta=\operatorname{atan2}(b,a),
ou, quando a>0, \theta=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right). Aqui a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}, então
\theta=\arctan\!\left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Observação: como a>0 e b>0, o ponto está no primeiro quadrante e \arctan(1) já fornece o ângulo correto.

Passo 6

Escrever a forma polar e a forma exponencial (Euler). A forma polar (módulo e argumento) é
z=1\angle\frac{\pi}{4},
que significa z=1(\cos(\tfrac{\pi}{4})+j\sin(\tfrac{\pi}{4})). Pela identidade de Euler, a forma exponencial é
z=e^{j\frac{\pi}{4}}.

Passo 7

Resumo prático para prova (dica do amigo): ao converter, primeiro calcule seno/cosseno se a expressão vier em termos trigonométricos; depois identifique a e b, calcule r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} e \theta=\operatorname{atan2}(b,a). Se r=1, a conversão fica rápida e frequentemente dá direto e^{j\theta}. Força aí — você consegue!

Resposta

\frac{\sqrt{2}}{2}+j\frac{\sqrt{2}}{2}
1\angle\frac{\pi}{4}
e^{j\frac{\pi}{4}}

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