Seja A um número complexo, encontre A nas equações abaixo
\frac{1}{A+3}=\frac{1}{A}+\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) número(s) complexo(s) A que satisfazem a equação
\frac{1}{A+3}=\frac{1}{A}+\frac{1}{3}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável é A, que pode ser um número complexo.
  • Há denominadores na equação, então devemos lembrar que A\neq 0 e A\neq -3 (caso contrário teríamos divisão por zero).
  • A tarefa é resolver essa equação e apresentar todos os valores de A que a satisfazem.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: somar as frações do lado direito para escrever numa única fração. Para somar \frac{1}{A} e \frac{1}{3} usamos o denominador comum 3A. Então
\frac{1}{A}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3A}+\frac{A}{3A}=\frac{A+3}{3A}.
Explicação didática: ao somar frações somamos os numeradores depois de colocar as frações com o mesmo denominador. Aqui multiplicamos \frac{1}{A} por \frac{3}{3} e \frac{1}{3} por \frac{A}{A}.

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
\frac{1}{A+3}=\frac{A+3}{3A}.
Note que usei a igualdade A+3=3+A para identificar os numeradores iguais.

Passo 4

Agora fazemos a eliminação dos denominadores (cross-multiplication). Como A e A+3 não são zero (ver passo 1), podemos multiplicar ambos os lados por 3A(A+3) sem problemas. Um caminho mais simples: multiplicar primeiro por A+3 para isolar 1 no lado esquerdo:
1=\frac{(A+3)^2}{3A}.
Em seguida multiplicamos por 3A:
3A=(A+3)^2.
Explicação didática: multiplicar ambos os lados por produtos dos denominadores é a técnica padrão para transformar uma equação de frações numa equação polinomial.

Passo 5

Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
(A+3)^2 = A^2 + 6A + 9.
Substituindo em 3A=(A+3)^2 e trazendo tudo para um lado obtemos a equação quadrática
0 = A^2 + 6A + 9 - 3A = A^2 + 3A + 9.
Explicação didática: para resolver equações-polinomiais é comum expandir e reorganizar em forma padrão A^2 + (\dots)A + (\dots)=0.

Passo 6

Aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para a equação \,A^2+3A+9=0. A fórmula diz que as raízes de aA^2+bA+c=0 são
A=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=3, c=9. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 3^2-4\cdot1\cdot9 = 9-36 = -27.
Como \Delta é negativo, as raízes serão complexas. Escrevendo \sqrt{-27} = i\sqrt{27} = i\cdot 3\sqrt{3}, obtemos
A = \frac{-3 \pm i\,3\sqrt{3}}{2}.
Podemos factorar 3/2 para ficar mais compacto:
A = \frac{3}{2}\left(-1 \pm i\sqrt{3}\right).
Explicação didática: quando o discriminante é negativo, a raiz quadrada dele gera um fator i (unidade imaginária), com i^2=-1.

Passo 7

Verificação rápida das restrições de domínio: os valores encontrados não são 0 nem -3, portanto são aceitáveis como soluções (não causam divisão por zero na equação inicial). Assim temos duas soluções complexas conjugadas.

Resposta

\displaystyle A=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{2}
\displaystyle A=\frac{-3-3i\sqrt{3}}{2}

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