Seja A um número complexo, encontre A nas equações abaixo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o(s) número(s) complexo(s)
que satisfazem a equação
Informações relevantes dadas:
- A variável é
, que pode ser um número complexo. - Há denominadores na equação, então devemos lembrar que
e (caso contrário teríamos divisão por zero). - A tarefa é resolver essa equação e apresentar todos os valores de
que a satisfazem.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: somar as frações do lado direito para escrever numa única fração. Para somar
e
usamos o denominador comum
. Então
Explicação didática: ao somar frações somamos os numeradores depois de colocar as frações com o mesmo denominador. Aqui multiplicamos
por
e
por
.
Passo 3
Substituindo na equação original obtemos
Note que usei a igualdade
para identificar os numeradores iguais.
Passo 4
Agora fazemos a eliminação dos denominadores (cross-multiplication). Como
e
não são zero (ver passo 1), podemos multiplicar ambos os lados por
sem problemas. Um caminho mais simples: multiplicar primeiro por
para isolar 1 no lado esquerdo:
Em seguida multiplicamos por
:
Explicação didática: multiplicar ambos os lados por produtos dos denominadores é a técnica padrão para transformar uma equação de frações numa equação polinomial.
Passo 5
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
Substituindo em
e trazendo tudo para um lado obtemos a equação quadrática
Explicação didática: para resolver equações-polinomiais é comum expandir e reorganizar em forma padrão
.
Passo 6
Aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para a equação
. A fórmula diz que as raízes de
são
Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Como
é negativo, as raízes serão complexas. Escrevendo
, obtemos
Podemos factorar
para ficar mais compacto:
Explicação didática: quando o discriminante é negativo, a raiz quadrada dele gera um fator
(unidade imaginária), com
.
Passo 7
Verificação rápida das restrições de domínio: os valores encontrados não são
nem
, portanto são aceitáveis como soluções (não causam divisão por zero na equação inicial). Assim temos duas soluções complexas conjugadas.