Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa:
j^{n} \quad(n>0)

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever j^{n} (com n>0) na forma retangular ou polar (ou converter entre elas).
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • Aqui j é a unidade imaginária, portanto satisfaz j^{2} = -1.
  • Não foi dado um valor específico de n, então queremos uma expressão geral em função de n.
  • Podemos usar representação polar/exponencial e a fórmula de Euler para obter a forma desejada.

Passo 2

O que é forma retangular e o que é forma polar/exponencial (mini-aula):
  • Forma retangular de um número complexo: a + j b, onde a é a parte real e b a parte imaginária.
  • Forma polar/exponencial: r e^{j\theta}, onde r é o módulo ( r\ge 0) e \theta é o argumento (ângulo).
  • Como converter: dado a+j b, r = \sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \theta = \operatorname{atan2}(b,a).
  • Fórmula de Euler (essencial): para todo \theta, e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta.Isso liga diretamente a forma exponencial à forma retangular.

Passo 3

Expressão polar de j (passo básico):
  • O número j tem módulo 1 porque |j|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1.
  • O argumento de j (no principal) é \frac{\pi}{2}, pois em coordenadas polares ele está no eixo imaginário positivo.
  • Portanto, em forma exponencial/polar podemos escrever j = e^{j\frac{\pi}{2}}.
  • Verificação rápida usando Euler: e^{j\frac{\pi}{2}}=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+j\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+j\cdot1=j.

Passo 4

Elevar j à potência n usando a forma exponencial:
  • Como j = e^{j\frac{\pi}{2}}, aplicando potência: j^{n} = \left(e^{j\frac{\pi}{2}}\right)^{n} = e^{j\frac{n\pi}{2}}.
  • Aqui usei a propriedade \left(e^{A}\right)^{n}=e^{nA}. Isto já é a forma polar/exponencial de j^{n}: módulo 1 e argumento \frac{n\pi}{2} (mód 2\pi).

Passo 5

Converter a forma exponencial para a forma retangular (usar Euler):
  • Aplicando Euler em e^{j\frac{n\pi}{2}} obtemos a forma retangular geral: j^{n} = \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right) + j\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
  • Essa fórmula dá diretamente a parte real e a parte imaginária em função de n.

Passo 6

Simplificação para inteiros n\): ciclo de período 4 (explicação didática): - As funções \(\cos\) e \(\sin\) com argumento \(\frac{n\pi}{2}\) assumem valores especiais dependendo do resto de \(n\) ao dividir por \(4\). Vamos calcular para \(k=0,1,2,3\): \[\begin{aligned} \cos\!\left(0\right)=1,\quad &\sin\!\left(0\right)=0\\\ \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\quad &\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1\\\ \cos\!\left(\pi\right)=-1,\quad &\sin\!\left(\pi\right)=0\\\ \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0,\quad &\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1 \end{aligned}
  • Portanto, para n inteiro, definindo r como o resto de n mod 4 (ou seja n\equiv r\pmod 4 com r\in\{0,1,2,3\}), temos: j^{n}= \begin{cases} 1, & \text{se } n\equiv 0\pmod 4,\\[4pt] j, & \text{se } n\equiv 1\pmod 4,\\[4pt] -1, & \text{se } n\equiv 2\pmod 4,\\[4pt] -j, & \text{se } n\equiv 3\pmod 4. \end{cases}
  • Isso é útil na prova: basta olhar n\] modulo \(4.]

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (aplicação prática):
  • n=1:\; j^{1}=j (ok).
  • n=2:\; j^{2}=-1.
  • n=3:\; j^{3}=-j.
  • n=4:\; j^{4}=1.
  • n=5:\; j^{5}=j (porque 5\equiv1\pmod4).

Resposta

j^{n}=e^{j\frac{n\pi}{2}}\) \(j^{n}=\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)+j\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\) \(\displaystyle j^{n}=\begin{cases} 1, & \text{se } n\equiv 0\pmod 4,\\[4pt] j, & \text{se } n\equiv 1\pmod 4,\\[4pt] -1, & \text{se } n\equiv 2\pmod 4,\\[4pt] -j, & \text{se } n\equiv 3\pmod 4. \end{cases}]

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