Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa:
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever
(com
) na forma retangular ou polar (ou converter entre elas).
Informações fornecidas e observações imediatas:
Informações fornecidas e observações imediatas:
- Aqui
é a unidade imaginária, portanto satisfaz . - Não foi dado um valor específico de
, então queremos uma expressão geral em função de . - Podemos usar representação polar/exponencial e a fórmula de Euler para obter a forma desejada.
Passo 2
O que é forma retangular e o que é forma polar/exponencial (mini-aula):
- Forma retangular de um número complexo:
, onde é a parte real e a parte imaginária. - Forma polar/exponencial:
, onde é o módulo ( ) e é o argumento (ângulo). - Como converter: dado
, - Fórmula de Euler (essencial): para todo
, Isso liga diretamente a forma exponencial à forma retangular.
Passo 3
Expressão polar de
(passo básico):
- O número
tem módulo porque . - O argumento de
(no principal) é , pois em coordenadas polares ele está no eixo imaginário positivo. - Portanto, em forma exponencial/polar podemos escrever
- Verificação rápida usando Euler:
Passo 4
Elevar
à potência
usando a forma exponencial:
- Como
, aplicando potência: - Aqui usei a propriedade
. Isto já é a forma polar/exponencial de : módulo e argumento (mód ).
Passo 5
Converter a forma exponencial para a forma retangular (usar Euler):
- Aplicando Euler em
obtemos a forma retangular geral: - Essa fórmula dá diretamente a parte real e a parte imaginária em função de
.
Passo 6
Simplificação para inteiros
- Portanto, para
inteiro, definindo como o resto de mod (ou seja com ), temos: - Isso é útil na prova: basta olhar .]
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (aplicação prática):
-
(ok). -
. -
. -
. -
(porque ).
Resposta
]