Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa:
\frac{1}{2+j 3}+7 e^{j x}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{1}{2 + j3} + 7 e^{j x}
e pede que a escrevamos em forma retangular ou polar (ou vice-versa). Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Dado:}\quad \frac{1}{2 + j3}\quad\text{e}\quad 7 e^{j x}.
\text{Pedir:}\quad \text{uma forma retangular (parte real + j parte imaginária) e a forma polar (magnitude e ângulo).}áâ

Passo 2

Vamos transformar \displaystyle \frac{1}{2 + j3} para a forma retangular. O truque padrão para dividir por um complexo é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 2 + j3 é 2 - j3. Então:
\frac{1}{2 + j3} = \frac{1}{2 + j3}\cdot\frac{2 - j3}{2 - j3} = \frac{2 - j3}{(2)^2 + (3)^2}.
Explicando: ao multiplicar o denominador pelo seu conjugado obtemos 2^2 + 3^2 porque (2+j3)(2-j3)=2^2-(j3)^2=4-(-9)=13. Agora conclui-se:
\frac{1}{2 + j3} = \frac{2 - j3}{13} = \frac{2}{13} - j\frac{3}{13}.
Aqui \frac{2}{13} é a parte real e -\frac{3}{13} é a parte imaginária.

Passo 3

Agora converto 7 e^{j x} para a forma retangular usando a fórmula de Euler:
e^{j x} = \cos x + j \sin x.
Portanto
7 e^{j x} = 7(\cos x + j \sin x) = 7\cos x + j\,7\sin x.
Aqui 7\cos x é a parte real e 7\sin x é a parte imaginária (multiplicada por j).

Passo 4

Somamos as duas partes já em forma retangular para obter a expressão total em forma retangular. Somando as partes reais e as partes imaginárias:
\frac{1}{2 + j3} + 7 e^{j x} = \left(\frac{2}{13} - j\frac{3}{13}\right) + \left(7\cos x + j\,7\sin x\right).
Agrupando parte real e parte imaginária:
\boxed{\;z = \left(\frac{2}{13} + 7\cos x\right) + j\left(7\sin x - \frac{3}{13}\right)\;}.
Explicação: somei \frac{2}{13} com 7\cos x para obter a parte real e somei -\frac{3}{13} com 7\sin x para obter a parte imaginária.

Passo 5

Agora vou transformar essa forma retangular em forma polar. Seja
a = \frac{2}{13} + 7\cos x,\qquad b = 7\sin x - \frac{3}{13}.
Para qualquer número complexo z = a + jb, a magnitude (módulo) é dada por
\lvert z\rvert = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.
E o argumento (ângulo) \theta=\arg z pode ser obtido por
\theta = \operatorname{atan2}(b,\,a),
onde \operatorname{atan2}(b,a) é a função arco-tangente que leva em conta o sinal de a e b para colocar o ângulo no quadrante correto. Aplicando ao nosso a e b:
\boxed{\;\lvert z\rvert = \sqrt{\left(\frac{2}{13} + 7\cos x\right)^{2} + \left(7\sin x - \frac{3}{13}\right)^{2}}\;}
e
\boxed{\;\theta = \operatorname{atan2}\!\left(7\sin x - \frac{3}{13},\; \frac{2}{13} + 7\cos x\right).\;}
A forma polar final usa a notação z = \lvert z\rvert e^{j\theta}, ou seja:
\boxed{\;z = \lvert z\rvert\,e^{j\theta}\;},
com \lvert z\rvert e \theta dados acima.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se escolhermos x = 0, então \cos 0 = 1 e \sin 0 = 0. Assim
a = \frac{2}{13} + 7\cdot 1 = \frac{2}{13} + 7 = \frac{2 + 91}{13} = \frac{93}{13},
b = 7\cdot 0 - \frac{3}{13} = -\frac{3}{13}.
Então a forma retangular é z=\dfrac{93}{13} - j\dfrac{3}{13} e a forma polar tem
\lvert z\rvert = \sqrt{\left(\frac{93}{13}\right)^{2} + \left(-\frac{3}{13}\right)^{2}},\qquad \theta = \operatorname{atan2}\!\left(-\frac{3}{13},\frac{93}{13}\right).
Isso mostra como aplicar as fórmulas com um valor concreto de x.

Resposta

\text{Retangular:}\qquad z=\left(\frac{2}{13}+7\cos x\right)+j\left(7\sin x-\frac{3}{13}\right)
\text{Polar:}\qquad z=\lvert z\rvert e^{j\theta}\quad\text{com}\quad \lvert z\rvert=\sqrt{\left(\frac{2}{13}+7\cos x\right)^{2}+\left(7\sin x-\frac{3}{13}\right)^{2}},\quad \theta=\operatorname{atan2}\!\left(7\sin x-\frac{3}{13},\;\frac{2}{13}+7\cos x\right)

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