Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa:
\frac{1}{\cos \theta+j \cos \theta}

Passo 1

Você me deu a expressão \displaystyle \frac{1}{\cos\theta + j\cos\theta} e pediu para escrevê-la na forma retangular ou polar (ou converter entre as duas). Informações relevantes que tenho do enunciado:
\theta é um ângulo (variável real);
o denominador é \cos\theta + j\cos\theta;
o símbolo j é a unidade imaginária;
devo observar a existência de possíveis restrições: aqui é necessário \cos\theta \neq 0 para a expressão estar bem definida (pois aparecerá \operatorname{sec}\theta).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: fatorar \cos\theta no denominador para simplificar a expressão. Faço isso assim:
\frac{1}{\cos\theta + j\cos\theta} = \frac{1}{\cos\theta\,(1+j)}.
Agora posso separar o fator real \cos\theta:
\frac{1}{\cos\theta\,(1+j)} = \frac{1}{\cos\theta}\cdot\frac{1}{1+j}.
Defino \operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\cos\theta} (isso é útil e é uma notação padrão), portanto a expressão fica
\operatorname{sec}\theta\cdot\frac{1}{1+j}.

Passo 3

Para obter a forma retangular (ou seja, algo da forma a + jb) eu preciso calcular \dfrac{1}{1+j}. A técnica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para “racionalizar” (tornar o denominador real). O conjugado de 1+j é 1-j. Então:
\frac{1}{1+j}\cdot\frac{1-j}{1-j}=\frac{1-j}{(1+j)(1-j)}.
Calculo o denominador: (1+j)(1-j)=1-j^2=1-(-1)=2. Assim
\frac{1}{1+j}=\frac{1-j}{2}.
Explicação curta do porquê: multiplicar pelo conjugado transforma a+jb em a^2+b^2 no denominador, que é real — muito útil para passar à forma a+jb.

Passo 4

Multiplico esse resultado por \operatorname{sec}\theta (lembrando que \operatorname{sec}\theta é real):
\operatorname{sec}\theta\cdot\frac{1}{1+j}=\operatorname{sec}\theta\cdot\frac{1-j}{2}=\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}(1-j).
Agora expandindo para ver as partes real e imaginária:
\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}(1-j)=\frac{\operatorname{sec}\theta}{2} - j\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}.
Portanto a forma retangular é \displaystyle \frac{\operatorname{sec}\theta}{2} - j\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}. Aqui a parte real é a=\dfrac{\operatorname{sec}\theta}{2} e a parte imaginária é b=-\dfrac{\operatorname{sec}\theta}{2}.

Passo 5

Agora vamos para a forma polar. Lembre os dois passos para converter a+jb em forma polar r e^{j\varphi}:
  • módulo (ou magnitude) r=\sqrt{a^2+b^2};
  • argumento (fase) \varphi=\operatorname{atan2}(b,a) (ou \arctan(b/a) com cuidado quadrantal).
Aqui a=\dfrac{\operatorname{sec}\theta}{2} e b=-\dfrac{\operatorname{sec}\theta}{2}. Calculo o módulo:
r=\sqrt{\left(\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}\right)^2+\left(-\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}\right)^2} =\sqrt{2\left(\frac{\operatorname{sec}^2\theta}{4}\right)} =\sqrt{\frac{\operatorname{sec}^2\theta}{2}} =\frac{|\operatorname{sec}\theta|}{\sqrt{2}}.
Observe que usei valor absoluto porque r é não negativo por definição.
Para a fase, uso a razão b/a:
\frac{b}{a}=\frac{-\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}}{\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}}=-1,
então \arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}. Mas atenção ao quadrante: se \operatorname{sec}\theta>0 então a>0 e b<0, logo o argumento principal é \varphi=-\frac{\pi}{4}. Se \operatorname{sec}\theta<0 (o que ocorre quando \cos\theta<0), tanto a quanto b mudam de sinal e ficam a<0,b>0; nesse caso a razão ainda dá -1 mas o ponto (a,b) está no segundo quadrante, então o argumento principal é \varphi=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}. (Se preferir usar a convenção de argumento em (-\pi,\pi], o ajuste é equivalente.)

Passo 6

Resumindo e escrevendo de forma compacta:
  • Forma retangular:
\frac{1}{\cos\theta + j\cos\theta} = \frac{\operatorname{sec}\theta}{2} - j\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}.
  • Forma polar (duas maneiras equivalentes):
\frac{1}{\cos\theta + j\cos\theta} = \frac{|\operatorname{sec}\theta|}{\sqrt{2}}\,e^{j\varphi},
com
\varphi = \begin{cases} -\dfrac{\pi}{4}, & \text{se }\cos\theta>0,\\[6pt] \dfrac{3\pi}{4}, & \text{se }\cos\theta<0. \end{cases}
Ou, escrevendo de forma algébrica sem separar casos (atenção: aí o fator \operatorname{sec}\theta pode ser negativo, o que corresponde a adicionar \pi na fase):
\frac{1}{\cos\theta + j\cos\theta} = \frac{\operatorname{sec}\theta}{\sqrt{2}}\,e^{-j\pi/4}.
Essa última é uma forma compacta, válida se permitirmos que o coeficiente \dfrac{\operatorname{sec}\theta}{\sqrt{2}} possa ser negativo (nesse caso a fase efetiva fica ajustada em \pi).]

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\cos\theta + j\cos\theta} = \frac{\operatorname{sec}\theta}{2} - j\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}\) \(\displaystyle \frac{1}{\cos\theta + j\cos\theta} = \frac{|\operatorname{sec}\theta|}{\sqrt{2}}\,e^{j\varphi},\quad \varphi=\begin{cases}-\dfrac{\pi}{4},&\cos\theta>0,\\[4pt]\dfrac{3\pi}{4},&\cos\theta<0.\end{cases}]

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