Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa: \frac{1}{\cos \theta+j \cos \theta}
Passo 1
Você me deu a expressão \displaystyle \frac{1}{\cos\theta + j\cos\theta} e pediu para escrevê-la na forma retangular ou polar (ou converter entre as duas). Informações relevantes que tenho do enunciado: \theta é um ângulo (variável real);
o denominador é \cos\theta + j\cos\theta;
o símbolo j é a unidade imaginária;
devo observar a existência de possíveis restrições: aqui é necessário \cos\theta \neq 0 para a expressão estar bem definida (pois aparecerá \operatorname{sec}\theta).
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: fatorar \cos\theta no denominador para simplificar a expressão. Faço isso assim:
Defino \operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\cos\theta} (isso é útil e é uma notação padrão), portanto a expressão fica
\operatorname{sec}\theta\cdot\frac{1}{1+j}.
Passo 3
Para obter a forma retangular (ou seja, algo da forma a + jb) eu preciso calcular \dfrac{1}{1+j}. A técnica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para “racionalizar” (tornar o denominador real). O conjugado de 1+j é 1-j. Então:
Portanto a forma retangular é \displaystyle \frac{\operatorname{sec}\theta}{2} - j\frac{\operatorname{sec}\theta}{2}. Aqui a parte real é a=\dfrac{\operatorname{sec}\theta}{2} e a parte imaginária é b=-\dfrac{\operatorname{sec}\theta}{2}.
Passo 5
Agora vamos para a forma polar. Lembre os dois passos para converter a+jb em forma polar r e^{j\varphi}:
módulo (ou magnitude) r=\sqrt{a^2+b^2};
argumento (fase) \varphi=\operatorname{atan2}(b,a) (ou \arctan(b/a) com cuidado quadrantal).
Aqui a=\dfrac{\operatorname{sec}\theta}{2} e b=-\dfrac{\operatorname{sec}\theta}{2}. Calculo o módulo:
então \arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}. Mas atenção ao quadrante: se \operatorname{sec}\theta>0 então a>0 e b<0, logo o argumento principal é \varphi=-\frac{\pi}{4}. Se \operatorname{sec}\theta<0 (o que ocorre quando \cos\theta<0), tanto a quanto b mudam de sinal e ficam a<0,b>0; nesse caso a razão ainda dá -1 mas o ponto (a,b) está no segundo quadrante, então o argumento principal é \varphi=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}. (Se preferir usar a convenção de argumento em (-\pi,\pi], o ajuste é equivalente.)
Ou, escrevendo de forma algébrica sem separar casos (atenção: aí o fator \operatorname{sec}\theta pode ser negativo, o que corresponde a adicionar \pi na fase):
Essa última é uma forma compacta, válida se permitirmos que o coeficiente \dfrac{\operatorname{sec}\theta}{\sqrt{2}} possa ser negativo (nesse caso a fase efetiva fica ajustada em \pi).]