Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
x^3-2 x^3+x^2+2 x-1x^2+2 x+1

Passo 1

Na questão, queremos decompor a função racional
f(x)=x^3-2x^3+x^2+2x-1x^2+2x+1
Observe que o numerador simplifica para -x^3+x^2+2x-1. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais envolvendo um fator linear repetido. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador, usar a divisão de polinômios e depois aplicar a forma geral de frações parciais para fator repetido.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2+2x+1=(x+1)^2
Como esse fator tem multiplicidade 2, a parte fracionária deverá aparecer como A/(x+1) mais B/(x+1)^2.

Passo 3

Em vez de calcular diretamente, aplicamos o algoritmo da divisão de polinômios usando coeficientes genéricos. Assim escrevemos
-x^3+x^2+2x-1(x+1)^2=ax+b+cx+d(x+1)^2,
onde ax+b é o quociente (grau 1) e cx+d é o resto (grau menor que 2).

Passo 4

Para concluir, decompondo o resto em frações parciais com o fator repetido, temos
cx+d(x+1)^2=Ax+1+B(x+1)^2

Resposta

f(x)=ax+b+Ax+1+B(x+1)^2

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