Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine as constantes numéricas dos coeficientes
\frac{t^{6}+1}{t^{6}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: escrever as formas de decomposição em frações parciais da função \dfrac{t^{6}+1}{t^{6}-1}, sem determinar os coeficientes numéricos. Informações relevantes:
  • A função racional tem numerador de grau 6 e denominador de grau 6.
  • O denominador é t^{6}-1, que pode ser fatorado (isso vai determinar a forma das parcelas parciais).
  • Não calcular os coeficientes; apenas escrever a forma geral da decomposição (com constantes simbólicas).

Passo 2

Tratar o caso em que o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador: fazer divisão polinomial (ou reescrever para separar a parte polinomial).
  • Como os dois polinômios têm mesmo grau, podemos escrever
\frac{t^{6}+1}{t^{6}-1}=1+\frac{(t^{6}+1)-(t^{6}-1)}{t^{6}-1}=1+\frac{2}{t^{6}-1}.
Explicação didática: a divisão polinomial por t^{6}-1 dá quociente 1 e resto 2, porque t^{6}+1=(t^{6}-1)+2. Assim reduzimos o problema para decompor a fração própria \dfrac{2}{t^{6}-1}.

Passo 3

Fatorar o denominador em fatores reais e simples, passo a passo:
  • Primeiro, usar identidades de soma/diferença de potências:
t^{6}-1=(t^{3})^{2}-1^{2}=(t^{3}-1)(t^{3}+1).
  • Em seguida fatorar cada cúbico:
t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1), \qquad t^{3}+1=(t+1)(t^{2}-t+1).
Portanto
t^{6}-1=(t-1)(t+1)(t^{2}+t+1)(t^{2}-t+1).
Observação: os fatores t-1 e t+1 são lineares reais; t^{2}+t+1 e t^{2}-t+1 são quadráticos sem raízes reais (irreducíveis sobre \mathbb{R}). Todos os fatores aparecem com multiplicidade 1 (raízes simples).

Passo 4

Regras de forma para frações parciais (lembrando as formas que cada tipo de fator exige):
  • Para cada fator linear simples (t-a) aparece um termo \dfrac{A}{t-a}, com A constante.
  • Para cada fator quadrático irreducível simples (t^{2}+pt+q) aparece um termo \dfrac{Bt+C}{t^{2}+pt+q}, com B,C constantes (numerador de grau menor que 2).
  • Como já extraímos a parte polinomial 1, devemos decompor \dfrac{2}{t^{6}-1} respeitando os fatores acima.

Passo 5

Escrever a forma de decomposição em frações parciais sobre os reais (sem calcular coeficientes). Usando as regras do passo anterior e os fatores do passo 3, a forma geral é
\frac{t^{6}+1}{t^{6}-1}=1+\frac{2}{t^{6}-1} =1+\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct+D}{t^{2}+t+1}+\frac{Et+F}{t^{2}-t+1},
onde A,B,C,D,E,F são constantes reais a determinar (não calculadas aqui).

Passo 6

Comentário didático breve sobre por que os numeradores têm essas formas:
  • Para (t-1) e (t+1) (fatores lineares) o numerador é constante porque o grau do numerador de cada parcela deve ser menor que o grau do fator do denominador (menor que 1).
  • Para t^{2}+t+1 e t^{2}-t+1 (quadráticos) o numerador é linear ( Ct+D, Et+F) porque deve ser de grau menor que 2.
  • Todos os fatores são simples, logo não aparecem potências no denominador (não há termos do tipo (t-a)^2 etc.).

Passo 7

Forma alternativa: decomposição completa em fatores lineares sobre os complexos. O denominador t^{6}-1 tem seis raízes simples que são as raízes 6-ésimas da unidade \zeta_{k}=e^{2\pi i k/6} ( k=0,1,\dots,5). Escrevendo essas raízes como \zeta_k, a forma complexa é
\frac{t^{6}+1}{t^{6}-1}=1+\sum_{k=0}^{5}\frac{A_{k}}{t-\zeta_{k}},
onde os A_{k} são constantes complexas a determinar (não calculadas aqui). Observação: esta forma é útil se quiser decompor em frações com denominadores lineares, mas geralmente em provas da graduação usa-se a forma real do passo 5.

Resposta

\frac{t^{6}+1}{t^{6}-1}=1+\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct+D}{t^{2}+t+1}+\frac{Et+F}{t^{2}-t+1}
\text{(forma alternativa sobre } \mathbb{C}\text{):}\qquad \frac{t^{6}+1}{t^{6}-1}=1+\sum_{k=0}^{5}\frac{A_{k}}{t-\zeta_{k}}

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