Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine as constantes numéricas dos coeficientes
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: escrever as formas de decomposição em frações parciais da função
, sem determinar os coeficientes numéricos. Informações relevantes:
- A função racional tem numerador de grau
e denominador de grau . - O denominador é
, que pode ser fatorado (isso vai determinar a forma das parcelas parciais). - Não calcular os coeficientes; apenas escrever a forma geral da decomposição (com constantes simbólicas).
Passo 2
Tratar o caso em que o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador: fazer divisão polinomial (ou reescrever para separar a parte polinomial).
- Como os dois polinômios têm mesmo grau, podemos escrever
Explicação didática: a divisão polinomial por
dá quociente
e resto
, porque
. Assim reduzimos o problema para decompor a fração própria
.
Passo 3
Fatorar o denominador em fatores reais e simples, passo a passo:
- Primeiro, usar identidades de soma/diferença de potências:
- Em seguida fatorar cada cúbico:
Portanto
Observação: os fatores
e
são lineares reais;
e
são quadráticos sem raízes reais (irreducíveis sobre
). Todos os fatores aparecem com multiplicidade
(raízes simples).
Passo 4
Regras de forma para frações parciais (lembrando as formas que cada tipo de fator exige):
- Para cada fator linear simples
aparece um termo , com constante. - Para cada fator quadrático irreducível simples
aparece um termo , com constantes (numerador de grau menor que 2). - Como já extraímos a parte polinomial
, devemos decompor respeitando os fatores acima.
Passo 5
Escrever a forma de decomposição em frações parciais sobre os reais (sem calcular coeficientes). Usando as regras do passo anterior e os fatores do passo 3, a forma geral é
onde
são constantes reais a determinar (não calculadas aqui).
Passo 6
Comentário didático breve sobre por que os numeradores têm essas formas:
- Para
e (fatores lineares) o numerador é constante porque o grau do numerador de cada parcela deve ser menor que o grau do fator do denominador (menor que ). - Para
e (quadráticos) o numerador é linear ( , ) porque deve ser de grau menor que . - Todos os fatores são simples, logo não aparecem potências no denominador (não há termos do tipo
etc.).
Passo 7
Forma alternativa: decomposição completa em fatores lineares sobre os complexos. O denominador
tem seis raízes simples que são as raízes 6-ésimas da unidade
(
). Escrevendo essas raízes como
, a forma complexa é
onde os
são constantes complexas a determinar (não calculadas aqui). Observação: esta forma é útil se quiser decompor em frações com denominadores lineares, mas geralmente em provas da graduação usa-se a forma real do passo 5.