Calcule a integral indefinida
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}\'}, {

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
  • Informações relevantes que temos:
    • O integrando é uma função racional envolvendo x, com fatores x e \left(x^{2}+4\right)^{2} no denominador.
    • Note que x=0 é um ponto singular (não podemos dividir por zero).
    • A expressão \left(x^{2}+4\right) é sempre positiva para todo x real, então \left(x^{2}+4\right)^{2}>0.

Passo 2

Escolha do método e transformação inicial (substituição):
  • Observação prática: a presença de x isolado no denominador e de \left(x^{2}+4\right) sugere usar a substituição u=x^{2}, porque du=2x\,dx envolve exatamente o fator x\,dx que aparece quando manipulamos dx/x.
  • Façamos a substituição \;u=x^{2}. Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2x}.
  • Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}} = \int \frac{1}{x\bigl(u+4\bigr)^{2}}\cdot\frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{x^{2}\bigl(u+4\bigr)^{2}}.
  • Como x^{2}=u, obtemos
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u\bigl(u+4\bigr)^{2}}.
Assim a integral em x foi reduzida a uma integral racional em u:
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u\left(u+4\right)^{2}}.

Passo 3

Decomposição em frações parciais (explicação e aplicação):
  • Ideia: escrever \dfrac{1}{u(u+4)^{2}} como soma de termos simples que sabemos integrar facilmente. Para pólos simples e duplos usamos a forma
\frac{1}{u\left(u+4\right)^{2}}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u+4}+\frac{C}{\left(u+4\right)^{2}},
onde A, B e C são constantes a determinar.
  • Multiplicando ambos os lados por u(u+4)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = A\left(u+4\right)^{2} + B\,u\left(u+4\right) + C\,u.
  • Expandindo e coletando coeficientes:
1 = A\bigl(u^{2}+8u+16\bigr) + B\bigl(u^{2}+4u\bigr) + C u = (A+B)u^{2} + (8A+4B+C)u + 16A.
  • Igualando coeficientes dos poderes de u:
    • Coeficiente de u^{2}: A+B=0.
    • Coeficiente de u: 8A+4B+C=0.
    • Termo constante: 16A=1.
  • Da última equação vem A=\dfrac{1}{16}.
    • Então B=-A=-\dfrac{1}{16}.
    • E C=-4A=-\dfrac{1}{4}.

Passo 4

Reescrever a integral com as frações parciais e separar termos:
  • Substituindo A, B e C na integral em u:
\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{u} - \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{u+4} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\left(u+4\right)^{2}}\right) du.
  • Podemos colocar constantes fora das integrais e separar em três integrais simples:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{16}\int\frac{du}{u} - \frac{1}{16}\int\frac{du}{u+4} - \frac{1}{4}\int\frac{du}{\left(u+4\right)^{2}}\right).

Passo 5

Calcular cada antiderivada (fórmulas usadas e por quê):
  • Fórmulas básicas que usaremos:
    • \displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
    • \displaystyle \int \frac{du}{u+4} = \ln|u+4| + C.
    • \displaystyle \int \frac{du}{(u+4)^{2}} = \int (u+4)^{-2}du = - (u+4)^{-1} + C = -\frac{1}{u+4} + C.
  • Aplicando essas fórmulas:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{16}\ln|u| - \frac{1}{16}\ln|u+4| - \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{u+4}\right)\right) + C.

Passo 6

Simplificar a expressão obtida:
  • Primeiro simplificamos os coeficientes:
    • \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{32}.
    • \dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{16}\right)=-\dfrac{1}{32}.
    • \dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\cdot\left(-1\right)=\dfrac{1}{8}.
  • Assim a primitiva em u é
\frac{1}{32}\ln|u| - \frac{1}{32}\ln|u+4| + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{u+4} + C.
  • Podemos combinar os dois logs:
\frac{1}{32}\ln\!\left(\frac{|u|}{|u+4|}\right) + \frac{1}{8(u+4)} + C.

Passo 7

Voltar à variável x e comentário sobre valores absolutos:
  • Lembrando que fizemos u=x^{2}. Como x^{2}\ge 0 e u+4>0, podemos substituir sem ambiguidade:
\frac{1}{32}\ln\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+4}\right) + \frac{1}{8(x^{2}+4)} + C.
  • Observações úteis para a prova:
    • Poderia também escrever o log como \dfrac{1}{32}\bigl(2\ln|x|-\ln(x^{2}+4)\bigr), já que \ln(x^{2})=2\ln|x|.
    • Lembre-se de mencionar que x\neq 0 é ponto singular do integrando original; a primitiva vale em intervalos onde a função integranda é definida.

Resposta

\frac{1}{32}\ln\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+4}\right)+\frac{1}{8\left(x^{2}+4\right)}+C

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