Calcule a integral indefinida
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular a integral indefinida
- Informações relevantes que temos:
- O integrando é uma função racional envolvendo
, com fatores e no denominador. - Note que
é um ponto singular (não podemos dividir por zero). - A expressão
é sempre positiva para todo real, então .
- O integrando é uma função racional envolvendo
Passo 2
Escolha do método e transformação inicial (substituição):
- Observação prática: a presença de
isolado no denominador e de sugere usar a substituição , porque envolve exatamente o fator que aparece quando manipulamos . - Façamos a substituição
. Então
- Substituindo na integral:
- Como
, obtemos
Assim a integral em
foi reduzida a uma integral racional em
:
Passo 3
Decomposição em frações parciais (explicação e aplicação):
- Ideia: escrever
como soma de termos simples que sabemos integrar facilmente. Para pólos simples e duplos usamos a forma
onde
,
e
são constantes a determinar.
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
- Expandindo e coletando coeficientes:
- Igualando coeficientes dos poderes de
: - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
- Coeficiente de
- Da última equação vem
. - Então
. - E
.
- Então
Passo 4
Reescrever a integral com as frações parciais e separar termos:
- Substituindo
, e na integral em :
- Podemos colocar constantes fora das integrais e separar em três integrais simples:
Passo 5
Calcular cada antiderivada (fórmulas usadas e por quê):
- Fórmulas básicas que usaremos:
-
. -
. -
.
-
- Aplicando essas fórmulas:
Passo 6
Simplificar a expressão obtida:
- Primeiro simplificamos os coeficientes:
-
. -
. -
.
-
- Assim a primitiva em
é
- Podemos combinar os dois logs:
Passo 7
Voltar à variável
e comentário sobre valores absolutos:
- Lembrando que fizemos
. Como e , podemos substituir sem ambiguidade:
- Observações úteis para a prova:
- Poderia também escrever o log como
, já que . - Lembre-se de mencionar que
é ponto singular do integrando original; a primitiva vale em intervalos onde a função integranda é definida.
- Poderia também escrever o log como