Escreva, no formato de equação diferencial, as expressões para a energia interna e entalpia demonstrando o caráter funcional delas com as outra funções de estado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Escrever, no formato de equação diferencial, a expressão para a energia interna mostrando que ela é função de outras variáveis de estado.
- Escrever, no formato de equação diferencial, a expressão para a entalpia mostrando também o caráter funcional dela com as outras variáveis de estado.
Informações relevantes implícitas que vou usar (não foi necessário pedir nada a mais):
- Trata-se de um sistema termodinâmico simples e geral (possível variação de entropia, volume e número de partículas).
- Uso a forma diferencial e as definições termodinâmicas padrão (primeira lei, definição de entalpia).
Passo 2
Primeira ideia importante: o que é uma função de estado e por que escrevemos diferenciais exatos.
- Uma função de estado é uma grandeza que depende apenas do estado do sistema (não do caminho). Exemplos: energia interna
, entropia , volume , número de partículas , pressão , temperatura . - Um diferencial exato de uma função de estado pode ser escrito como soma de coeficientes multiplicando diferenciais das variáveis independentes (ex.:
). Esses coeficientes têm significado físico (derivadas parciais).
Passo 3
Ligar isso com a primeira lei da termodinâmica (forma diferencial).
- A primeira lei para um sistema aberto/fechado, em forma diferencial, diz que a variação da energia interna é a soma do calor trocado e do trabalho realizado sobre o sistema. Para um processo reversível, pode escrever:
- O trabalho mecânico de compressão reversível vale
(o sinal negativo porque trabalho efetuado pelo sistema diminui ). - Se houver troca de matéria, inclui-se o trabalho químico
, onde é o potencial químico da espécie e seu número de partículas.
Passo 4
Juntar tudo para obter o diferencial exato da energia interna.
- Substituindo os termos reversíveis na primeira lei, obtemos a forma diferencial da energia interna:
- Esta equação é uma expressão diferencial exata: indica que
é função das variáveis naturais , e . Escrevemos explicitamente:
Passo 5
Interpretar os coeficientes como derivadas parciais (isso mostra o caráter funcional).
- Das propriedades de diferenciais exatos, os coeficientes são derivadas parciais de
:
- Isso mostra de forma precisa como
depende das outras funções de estado: temperatura, pressão e potenciais químicos aparecem como derivadas de .
Passo 6
Definir entalpia e obter sua forma diferencial.
- Entalpia é definida por:
- Diferenciando
e usando o resultado para :
- Substituindo
da forma do Passo 4:
- Os termos em
se cancelam, sobrando:
Passo 7
Mostrar o caráter funcional da entalpia e interpretar os coeficientes.
- A forma diferencial indica que
é função das variáveis naturais , e :
- Os coeficientes são derivadas parciais de
:
Passo 8
Casos especiais e dicas práticas para prova (respira, você consegue).
- Para sistema fechado e de única espécie (
): as formas simplificadas são
- Na prova: sempre comece identificando as variáveis naturais pedidas. Se precisarem relacionar grandezas, use as fórmulas de derivadas parciais do Passo 5 e Passo 7.
- Lembre-se: as equações diferenciais acima vêm da primeira lei + definição de entalpia + hipótese de processos reversíveis para escrever
. Se o problema trouxer irreversibilidades, o termo deve ser tratado com cuidado (mas as formas de e como diferenciais exatos de funções de estado continuam válidas).