Escreva, no formato de equação diferencial, as expressões para a energia interna e entalpia demonstrando o caráter funcional delas com as outra funções de estado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Escrever, no formato de equação diferencial, a expressão para a energia interna mostrando que ela é função de outras variáveis de estado.
  • Escrever, no formato de equação diferencial, a expressão para a entalpia mostrando também o caráter funcional dela com as outras variáveis de estado.
Informações relevantes implícitas que vou usar (não foi necessário pedir nada a mais):
  • Trata-se de um sistema termodinâmico simples e geral (possível variação de entropia, volume e número de partículas).
  • Uso a forma diferencial e as definições termodinâmicas padrão (primeira lei, definição de entalpia).

Passo 2

Primeira ideia importante: o que é uma função de estado e por que escrevemos diferenciais exatos.
  • Uma função de estado é uma grandeza que depende apenas do estado do sistema (não do caminho). Exemplos: energia interna U, entropia S, volume V, número de partículas N_i, pressão P, temperatura T.
  • Um diferencial exato de uma função de estado pode ser escrito como soma de coeficientes multiplicando diferenciais das variáveis independentes (ex.: dU = A\,dS + B\,dV + \dots). Esses coeficientes têm significado físico (derivadas parciais).

Passo 3

Ligar isso com a primeira lei da termodinâmica (forma diferencial).
  • A primeira lei para um sistema aberto/fechado, em forma diferencial, diz que a variação da energia interna é a soma do calor trocado e do trabalho realizado sobre o sistema. Para um processo reversível, pode escrever:
\delta Q_\text{rev}=T\,dS.
  • O trabalho mecânico de compressão reversível vale \delta W_\text{mech}=-P\,dV (o sinal negativo porque trabalho efetuado pelo sistema diminui U).
  • Se houver troca de matéria, inclui-se o trabalho químico \sum_i \mu_i\,dN_i, onde \mu_i é o potencial químico da espécie i e N_i seu número de partículas.

Passo 4

Juntar tudo para obter o diferencial exato da energia interna.
  • Substituindo os termos reversíveis na primeira lei, obtemos a forma diferencial da energia interna:
dU = T\,dS - P\,dV + \sum_i \mu_i\,dN_i.
  • Esta equação é uma expressão diferencial exata: indica que U é função das variáveis naturais S, V e \{N_i\}. Escrevemos explicitamente:
U = U\bigl(S,\,V,\,\{N_i\}\bigr).

Passo 5

Interpretar os coeficientes como derivadas parciais (isso mostra o caráter funcional).
  • Das propriedades de diferenciais exatos, os coeficientes são derivadas parciais de U:
T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,\{N_i\}},\qquad -P = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,\{N_i\}},\qquad \mu_i = \left(\frac{\partial U}{\partial N_i}\right)_{S,V,N_{j\neq i}}.
  • Isso mostra de forma precisa como U depende das outras funções de estado: temperatura, pressão e potenciais químicos aparecem como derivadas de U.

Passo 6

Definir entalpia e obter sua forma diferencial.
  • Entalpia é definida por:
H \equiv U + P V.
  • Diferenciando H e usando o resultado para dU:
dH = dU + P\,dV + V\,dP.
  • Substituindo dU da forma do Passo 4:
dH = \bigl(T\,dS - P\,dV + \sum_i \mu_i\,dN_i\bigr) + P\,dV + V\,dP.
  • Os termos em \pm P\,dV se cancelam, sobrando:
dH = T\,dS + V\,dP + \sum_i \mu_i\,dN_i.

Passo 7

Mostrar o caráter funcional da entalpia e interpretar os coeficientes.
  • A forma diferencial indica que H é função das variáveis naturais S, P e \{N_i\}:
H = H\bigl(S,\,P,\,\{N_i\}\bigr).
  • Os coeficientes são derivadas parciais de H:
T = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,\{N_i\}},\qquad V = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,\{N_i\}},\qquad \mu_i = \left(\frac{\partial H}{\partial N_i}\right)_{S,P,N_{j\neq i}}.

Passo 8

Casos especiais e dicas práticas para prova (respira, você consegue).
  • Para sistema fechado e de única espécie ( dN_i=0): as formas simplificadas são
dU = T\,dS - P\,dV, \qquad dH = T\,dS + V\,dP.
  • Na prova: sempre comece identificando as variáveis naturais pedidas. Se precisarem relacionar grandezas, use as fórmulas de derivadas parciais do Passo 5 e Passo 7.
  • Lembre-se: as equações diferenciais acima vêm da primeira lei + definição de entalpia + hipótese de processos reversíveis para escrever \delta Q_\text{rev}=T\,dS. Se o problema trouxer irreversibilidades, o termo T\,dS deve ser tratado com cuidado (mas as formas de dU e dH como diferenciais exatos de funções de estado continuam válidas).

Resposta

dU = T\,dS - P\,dV + \displaystyle\sum_i \mu_i\,dN_i,\quad U=U\bigl(S,V,\{N_i\}\bigr)\n
dH = T\,dS + V\,dP + \displaystyle\sum_i \mu_i\,dN_i,\quad H=H\bigl(S,P,\{N_i\}\bigr)

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