Usando equações integradas, mostre a relação entre \Delta H c \Delta U^{\prime} para um processo químico que tenha alteração na quantidade de gás entre reagentes e produtos.
\begin{aligned} & D u=q+w \\\ & \Delta H=\Delta u+w \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: mostrar a relação entre \Delta H e \Delta U^{\prime} para um processo químico em que há alteração da quantidade de gás entre reagentes e produtos.
  • Equações/expressões fornecidas (copiadas do enunciado):
    • \Delta U = q + w (primeira lei da termodinâmica, versão diferencial integrada)
    • \Delta H = \Delta U + w (esta expressão foi apresentada no enunciado; vamos checar e corrigir se necessário)
  • Informações implícitas que são relevantes para resolver o problema:
    • Em termodinâmica química costuma-se considerar trabalho de pressão-volume ( w_{PV}) quando há mudança de volume por variação do número de mols de gás.
    • Para relacionar \Delta H e \Delta U é útil usar a definição de entalpia H em termos de energia interna U, pressão P e volume V.

Passo 2

Definições e convenções (explicando cada símbolo).
  • U: energia interna do sistema. \Delta U é a variação de energia interna durante a reação.
  • H: entalpia do sistema, definida como
H = U + PV.
  • q: calor trocado com o ambiente (positivo se recebido pelo sistema).
  • w: trabalho total realizado sobre o sistema (ou por convenção w pode ser trabalho feito no sistema — aqui usarei a convenção usual em química onde \Delta U = q + w, com w incluindo sinais).
  • w_{PV}: trabalho de expansão/compressão devida à pressão, que em processo reversível é \delta w_{PV} = -P\,dV.
  • n: número de mols de gás; se a reação altera a quantidade de gás, \Delta n_{\text{gas}} é a variação do número de mols gasosos (produtos menos reagentes).
  • R: constante dos gases ideais.
  • T: temperatura absoluta (K).
Vou assumir convenções usuais e explicitar quando faço aproximações (por exemplo, gás ideal e processo isotérmico ou de pressão constante), porque a relação final depende dessas hipóteses.

Passo 3

Relação exata a partir da definição de entalpia.
Partindo de H=U+PV, a variação finita é
\Delta H = \Delta U + \Delta(PV).
Isto é uma identidade exata — não é hipótese, é apenas a variação da definição. Aqui \Delta(PV) é a variação do produto pressão vezes volume do sistema entre estado final e inicial.

Passo 4

Interpretando \Delta(PV) para gases ideais e usando a primeira lei.
  • Se o sistema contém gases que podem ser tratados como ideais, vale a equação de estado
PV = nRT.
  • Então
\Delta(PV) = \Delta(nRT).
Usando produto para variações finitas, de forma explícita:
\Delta(nRT)=R\left(T_{\text{final}}n_{\text{final}}-T_{\text{initial}}n_{\text{initial}}\right).
Em particular, se a temperatura do processo for mantida constante ( T_{\text{final}}=T_{\text{initial}}=T), então
\Delta(PV)=R T\,\Delta n_{\text{gas}}.

Passo 5

Combinação das duas expressões para obter a relação desejada.
Voltando à identidade do Passo 3 e substituindo a expressão para \Delta(PV) em caso de gás ideal e temperatura constante, obtemos
\Delta H = \Delta U + \Delta(PV) = \Delta U + R T\,\Delta n_{\text{gas}}.
Essa é a forma mais usada em química para ligar entalpia de reação e variação de energia interna de reação quando há mudança no número de mols gasosos.

Passo 6

Conexão com q_p (caso de pressão constante) e esclarecimento sobre o w do enunciado.
  • Para um processo à pressão constante e considerando somente trabalho de pressão-volume (sem trabalho não-PV), a primeira lei e a definição de entalpia levam a
\Delta H = q_p,
onde q_p é o calor trocado à pressão constante.
  • O enunciado apresentou a fórmula \Delta H=\Delta U + w. Isso pode confundir porque w aí não é a forma geral correta: a relação exata é \Delta H=\Delta U+\Delta(PV). Se alguém escreve \Delta H=\Delta U+w está implicitamente tomando w=\Delta(PV), isto é, está identificando o trabalho na equação com a variação de PV — mas isso precisa ser feito com cuidado (sinal, definição de w, e suposições sobre o tipo de trabalho).
  • Resumindo: a expressão correta e prática para reações químicas com gases ideais e temperatura constante é
\Delta H = \Delta U + R T\,\Delta n_{\text{gas}}.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia.
  • Se numa reação a variação do número de mols gasosos for \Delta n_{\text{gas}}=+1 (ou seja, aumenta 1 mol de gás por mol de reação) e T=298\\ \text{K}, então o termo adicional vale aproximadamente
R T\,\Delta n_{\text{gas}} \approx (8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1})(298\\ \text{K})(1)\approx 2{,}48\times10^{3}\\ \text{J mol}^{-1}=2{,}48\\ \text{kJ mol}^{-1}.
Isto mostra que mesmo uma unidade de \Delta n_{\text{gas}} dá um acréscimo do ordem de kJ mol ^{-1}, importante em termociência.

Resposta

\displaystyle \Delta H=\Delta U+\Delta(PV)
\displaystyle \text{Para gases ideais: }\Delta H=\Delta U+\Delta(nRT)
\displaystyle \text{Se }T\text{ constante (caso usual): }\Delta H=\Delta U+R\,T\,\Delta n_{\text{gas}}

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