Usando equações integradas, mostre a relação entre
c
para um processo químico que tenha alteração na quantidade de gás entre reagentes e produtos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedido: mostrar a relação entre
e para um processo químico em que há alteração da quantidade de gás entre reagentes e produtos. - Equações/expressões fornecidas (copiadas do enunciado):
-
(primeira lei da termodinâmica, versão diferencial integrada) -
(esta expressão foi apresentada no enunciado; vamos checar e corrigir se necessário)
-
- Informações implícitas que são relevantes para resolver o problema:
- Em termodinâmica química costuma-se considerar trabalho de pressão-volume (
) quando há mudança de volume por variação do número de mols de gás. - Para relacionar
e é útil usar a definição de entalpia em termos de energia interna , pressão e volume .
- Em termodinâmica química costuma-se considerar trabalho de pressão-volume (
Passo 2
Definições e convenções (explicando cada símbolo).
-
: energia interna do sistema. é a variação de energia interna durante a reação. -
: entalpia do sistema, definida como
-
: calor trocado com o ambiente (positivo se recebido pelo sistema). -
: trabalho total realizado sobre o sistema (ou por convenção pode ser trabalho feito no sistema — aqui usarei a convenção usual em química onde , com incluindo sinais). -
: trabalho de expansão/compressão devida à pressão, que em processo reversível é . -
: número de mols de gás; se a reação altera a quantidade de gás, é a variação do número de mols gasosos (produtos menos reagentes). -
: constante dos gases ideais. -
: temperatura absoluta (K).
Vou assumir convenções usuais e explicitar quando faço aproximações (por exemplo, gás ideal e processo isotérmico ou de pressão constante), porque a relação final depende dessas hipóteses.
Passo 3
Relação exata a partir da definição de entalpia.
Partindo de
, a variação finita é
Isto é uma identidade exata — não é hipótese, é apenas a variação da definição. Aqui
é a variação do produto pressão vezes volume do sistema entre estado final e inicial.
Passo 4
Interpretando
para gases ideais e usando a primeira lei.
- Se o sistema contém gases que podem ser tratados como ideais, vale a equação de estado
- Então
Usando produto para variações finitas, de forma explícita:
Em particular, se a temperatura do processo for mantida constante (
), então
Passo 5
Combinação das duas expressões para obter a relação desejada.
Voltando à identidade do Passo 3 e substituindo a expressão para
em caso de gás ideal e temperatura constante, obtemos
Essa é a forma mais usada em química para ligar entalpia de reação e variação de energia interna de reação quando há mudança no número de mols gasosos.
Passo 6
Conexão com
(caso de pressão constante) e esclarecimento sobre o
do enunciado.
- Para um processo à pressão constante e considerando somente trabalho de pressão-volume (sem trabalho não-PV), a primeira lei e a definição de entalpia levam a
onde
é o calor trocado à pressão constante.
- O enunciado apresentou a fórmula
. Isso pode confundir porque aí não é a forma geral correta: a relação exata é . Se alguém escreve está implicitamente tomando , isto é, está identificando o trabalho na equação com a variação de — mas isso precisa ser feito com cuidado (sinal, definição de , e suposições sobre o tipo de trabalho). - Resumindo: a expressão correta e prática para reações químicas com gases ideais e temperatura constante é
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a ideia.
- Se numa reação a variação do número de mols gasosos for
(ou seja, aumenta 1 mol de gás por mol de reação) e , então o termo adicional vale aproximadamente
Isto mostra que mesmo uma unidade de
dá um acréscimo do ordem de kJ mol
, importante em termociência.