Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace f(t)=\left\{\begin{array}{lll}0, & \text { se } & 0 \leq t<a \\\\ 1, & \text { se } & a \leq t<b \\\\ 0, & \text { se } & t \geq b\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado define a função
f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t < a,\\\\ 1, & a \le t < b,\\\\ 0, & t \ge b, \end{cases}
e pede (i) escrever f(t) em termos da função degrau u(t) e (ii) calcular sua transformada de Laplace. Vamos usar a definição de degrau e a propriedade de linearidade da transformada de Laplace.
Passo 2
Lembrando que \,u(t-a)=0 para t<a e \,u(t-a)=1 para t\ge a,
e de modo semelhante para u(t-b), notamos que a combinação
u(t-a)-u(t-b)
vale 1 em a\le t<b e 0 fora desse intervalo. Logo
f(t)=u(t-a)-u(t-b).
Passo 3
Usando a linearidade da transformada de Laplace e a fórmula de descolamento no tempo, temos