Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
f(t)=\left\{\begin{array}{lll}0, & \text { se } & 0 \leq t<a \\\\ 1, & \text { se } & a \leq t<b \\\\ 0, & \text { se } & t \geq b\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t < a,\\\\ 1, & a \le t < b,\\\\ 0, & t \ge b, \end{cases}
e pede (i) escrever f(t) em termos da função degrau u(t) e (ii) calcular sua transformada de Laplace. Vamos usar a definição de degrau e a propriedade de linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Lembrando que \,u(t-a)=0 para t<a e \,u(t-a)=1 para t\ge a,
e de modo semelhante para u(t-b), notamos que a combinação
u(t-a)-u(t-b)
vale 1 em a\le t<b e 0 fora desse intervalo. Logo
f(t)=u(t-a)-u(t-b).

Passo 3

Usando a linearidade da transformada de Laplace e a fórmula de descolamento no tempo, temos
\mathcal{L}\{u(t-c)\}=\frac{e^{-c s}}{s}.
Então
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{u(t-a)\}-\mathcal{L}\{u(t-b)\} =\frac{e^{-a s}}{s}-\frac{e^{-b s}}{s} =\frac{e^{-a s}-e^{-b s}}{s}.

Resposta

f(t)=u(t-a)−u(t-b)
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{e^{-a s}-e^{-b s}}{s}.

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