Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
f(t)=\left\{\begin{aligned} 0, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\ t^{2}, & \text { se } t \geq 1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t<1,\\\ t^{2}, & t\ge1. \end{cases}
O objetivo é reescrever f(t) em termos da função degrau u(t-1) e, em seguida, usar o teorema do deslocamento na transformada de Laplace, que diz que
\mathcal{L}\{g(t-a)\,u(t-a)\}(s)=e^{-as}\,G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 2

Para usar o teorema do deslocamento, definimos \tau=t-1. Então, para t\ge1 temos t=\tau+1 e
f(t)=t^{2}\,u(t-1) =(\tau+1)^{2}\,u(\tau) \quad\text{com }\tau=t-1.
Voltando a t, isso dá
f(t)=\bigl((t-1)+1\bigr)^{2}\,u(t-1) =\bigl((t-1)^{2}+2\,(t-1)+1\bigr)\,u(t-1).

Passo 3

Pela linearidade da transformada e pelo teorema do deslocamento, cada termo gera um fator e^{-s}:
\mathcal{L}\{(t-1)^{2}u(t-1)\}(s) =e^{-s}\,\mathcal{L}\{\tau^{2}\}(s) =e^{-s}\,\frac{2!}{s^{3}} =e^{-s}\,\frac{2}{s^{3}},
\mathcal{L}\{2\,(t-1)u(t-1)\}(s) =2\,e^{-s}\,\mathcal{L}\{\tau\}(s) =2\,e^{-s}\,\frac{1!}{s^{2}} =2\,e^{-s}\,\frac{1}{s^{2}},
\mathcal{L}\{1\cdot u(t-1)\}(s) =e^{-s}\,\mathcal{L}\{1\}(s) =e^{-s}\,\frac{1}{s}.
Somando os três termos, obtemos
F(s)=e^{-s}\Bigl(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}\Bigr).

Resposta

F(s)=e^{-s}\Bigl(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}\Bigr).

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