Escreva a matriz \mathbf{A} e a sua inversa \mathbf{A}^{-1} como um produto de matrizes elementares.
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}-3 & 1 \\\\ 2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever \mathbf{A} e \mathbf{A}^{-1} como produto de matrizes elementares. Vamos usar o método de Gauss–Jordan na forma aumentada \bigl[\mathbf{A}\mid \mathbf{I}\bigr], registrar cada operação de linha e associar a cada uma a matriz elementar correspondente. No final teremos
E_5E_4E_3E_2E_1\,\mathbf{A}=\mathbf{I},
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\mathbf{A}^{-1}=E_5E_4E_3E_2E_1,
e
\mathbf{A}=\bigl(E_5E_4E_3E_2E_1\bigr)^{-1} =E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}E_5^{-1}.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e aplicamos as operações:
\bigl[\mathbf{A}\mid \mathbf{I}\bigr] = \begin{bmatrix} -3 & 1 &\mid& 1 & 0\\\\ 2 & 2 &\mid& 0 & 1 \end{bmatrix}.
  1. E_1\!: R_1\leftrightarrow R_2.
  2. E_2\!: R_2\leftarrow R_2 + \tfrac32\,R_1.
  3. E_3\!: R_2\leftarrow \tfrac14\,R_2.
  4. E_4\!: R_1\leftarrow R_1 - 2\,R_2.
  5. E_5\!: R_1\leftarrow \tfrac12\,R_1.
Após essas cinco operações obtemos \bigl[\mathbf{I}\mid \mathbf{A}^{-1}\bigr].

Passo 3

As matrizes elementares correspondentes são:
E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[6pt] \frac32 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[3pt] 0 & \tfrac14 \end{pmatrix},
E_4 = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_5 = \begin{pmatrix} \tfrac12 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como
E_5\,E_4\,E_3\,E_2\,E_1\,\mathbf{A} =\mathbf{I},
segue que
\boxed{\mathbf{A}^{-1} =E_5\,E_4\,E_3\,E_2\,E_1.}

Passo 5

Para escrever \mathbf{A} como produto de matrizes elementares, note que cada E_i é invertível e E_i^{-1} também é elementar. Logo
\boxed{\mathbf{A} =(E_5E_4E_3E_2E_1)^{-1} =E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}E_5^{-1}.}
Os inversos são
E_1^{-1}=E_1,\quad E_2^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ -\tfrac32&1\end{pmatrix},\quad E_3^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&4\end{pmatrix},
E_4^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad E_5^{-1}=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{A}^{-1} =E_5\,E_4\,E_3\,E_2\,E_1, com
E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\; E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[3pt] \frac32 & 1 \end{pmatrix},\; E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & \tfrac14 \end{pmatrix},\; E_4 = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\; E_5 = \begin{pmatrix} \tfrac12 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
e \displaystyle \mathbf{A} =E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}E_5^{-1}.]

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