Escreva a matriz natural associada a transformação linear : f(x)=(2 x, 0,-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever a matriz natural associada à transformação linear . A matéria envolvida aqui é transformações lineares e matrizes associadas a essas transformações. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a função dada em uma matriz que represente essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear pega vetores de um espaço de dimensão e os transforma em vetores de um espaço de dimensão de forma que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

A matriz natural de uma transformação linear é a matriz que representa essa transformação em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos. No nosso caso, a transformação vai de para . Isso significa que nossa matriz natural terá 3 linhas (uma para cada componente do vetor de saída) e 1 coluna (já que a entrada é um escalar, ou seja, um vetor de dimensão 1).

Passo 4

Para construir a matriz natural, aplicamos a transformação ao vetor da base canônica de f(e1) = f(1) = (2 times 1, , 0, , -1 times 1) = (2, , 0, , -1) , que é . Então:

Passo 5

Agora, colocamos o resultado de 2 0 -1 como a única coluna da nossa matriz natural:

Resposta

A matriz natural associada à transformação linear 2 0 -1 é:

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