Escreva a matriz natural associada a transformação linear :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever a matriz natural associada à transformação linear . A matéria envolvida aqui é transformações lineares e matrizes associadas a essas transformações. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a função dada em uma matriz que represente essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear pega vetores de um espaço de dimensão e os transforma em vetores de um espaço de dimensão de forma que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
A matriz natural de uma transformação linear é a matriz que representa essa transformação em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos. No nosso caso, a transformação vai de para . Isso significa que nossa matriz natural terá 3 linhas (uma para cada componente do vetor de saída) e 1 coluna (já que a entrada é um escalar, ou seja, um vetor de dimensão 1).
Passo 4
Para construir a matriz natural, aplicamos a transformação ao vetor da base canônica de , que é . Então:
Passo 5
Agora, colocamos o resultado de como a única coluna da nossa matriz natural:
Resposta
A matriz natural associada à transformação linear 2 0 -1 é: