Escreva em notação de intervalos e represente na reta real:
\{x \in \mathbb{R}:-3<2 x+1 \leq 7\}, \quad\{x \in \mathbb{R}:|x-2| \leq 5\}, \quad\{x \in \mathbb{R}:|2 x+1|>3\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Há três conjuntos descritos por desigualdades; para cada um é pedido:
    1. escrever a solução em notação de intervalos;
    2. representar essa solução na reta real (indicar extremos abertos/fechados e a região que fica sombreada).
  • Os conjuntos dados são:
    • \{x\in\mathbb{R}:-3<2x+1\leq 7\}.
    • \{x\in\mathbb{R}:|x-2|\leq 5\}.
    • \{x\in\mathbb{R}:|2x+1|>3\}.

Passo 2

Resolvendo o primeiro conjunto \{x\in\mathbb{R}:-3<2x+1\leq 7\}.
  • Observação sobre desigualdades compostas: uma expressão do tipo \,a<bx+c\leq d\, significa que ambas as desigualdades \,a<bx+c e \,bx+c\leq d\, valem ao mesmo tempo. Podemos operar as três partes simultaneamente (somar, subtrair, multiplicar ou dividir) desde que aplicadas às três expressões e respeitando a regra: ao multiplicar/dividir por número negativo, inverte-se o sentido das desigualdades; ao somar/subtrair não se altera o sentido.
  • Passo algébrico 1: subtrair 1 das três partes para isolar o termo com x: -3<2x+1\leq 7 \quad\Longrightarrow\quad -3-1<2x\leq 7-1.Calculando os termos numéricos: -4<2x\leq 6.
  • Passo algébrico 2: dividir as três partes por 2. Como 2>0, o sentido das desigualdades não muda: \frac{-4}{2}<x\leq\frac{6}{2}\quad\Longrightarrow\quad -2<x\leq 3.
  • Interpretação e notação de intervalo: a desigualdade \,-2<x\leq 3\, corresponde ao intervalo aberto à esquerda e fechado à direita \left(-2,\,3\right].
  • Representação na reta real: marca-se um círculo aberto em \,-2\, (porque x=-2 não está incluído), um círculo fechado em \,3\, (porque x=3 está incluído) e sombreia-se a região entre eles.

Passo 3

Resolvendo o segundo conjunto \{x\in\mathbb{R}:|x-2|\leq 5\}.
  • Lembrete didático sobre valor absoluto: para qualquer número real y e qualquer b\geq 0, |y|\leq b \quad\Longleftrightarrow\quad -b\leq y\leq b.Em palavras: a distância de y até 0 é no máximo b; isso dá um intervalo central simétrico.
  • Aplicando a regra com y=x-2 e b=5: |x-2|\leq 5 \quad\Longrightarrow\quad -5\leq x-2\leq 5.
  • Somando 2 em todas as partes para isolar x: -5+2\leq x\leq 5+2 \quad\Longrightarrow\quad -3\leq x\leq 7.
  • Notação de intervalo correspondente: \left[-3,\,7\right].Aqui ambos os extremos são incluídos (pontos fechados).
  • Representação na reta real: círculos fechados em \,-3 e em \,7, e sombra contínua entre eles.

Passo 4

Resolvendo o terceiro conjunto \{x\in\mathbb{R}:|2x+1|>3\}.
  • Lembrete didático sobre valor absoluto com desigualdade estrita: para qualquer A e b>0, |A|>b \quad\Longleftrightarrow\quad A<-b\\ \text{ ou }\\ A>b.Em palavras: a distância de A até 0 é maior que b, então A está fora do intervalo [-b,b].
  • Aplicando com A=2x+1 e b=3: |2x+1|>3 \quad\Longrightarrow\quad 2x+1<-3\quad\text{ou}\quad 2x+1>3.
  • Resolver cada caso separadamente:
    • Caso 1: 2x+1<-3. Subtrair 1: 2x<-4.Dividir por 2>0: x<-2.
    • Caso 2: 2x+1>3. Subtrair 1: 2x>2.Dividir por 2>0: x>1.
  • Reunindo as soluções (união de casos): x<-2\quad\text{ou}\quad x>1.Em notação de intervalos: \left(-\infty,\,-2\right)\cup\left(1,\,\infty\right).Observe que os extremos -2 e 1 são abertos (não incluídos) porque a desigualdade é estrita >.
  • Representação na reta real: duas semi‑retas abertas, uma à esquerda de -2 (com círculo aberto em -2) e outra à direita de 1 (com círculo aberto em 1).

Passo 5

Pequenos lembretes práticos para a prova (comodinho e direto):
  • Para desigualdades lineares simples, sempre isolo x fazendo as mesmas operações em ambos os lados; lembre-se: dividir por número negativo inverte o sinal.
  • Para |\cdot|:
    • |A|\leq b com b\geq0 vira -b\leq A\leq b.
    • |A|< b vira -b<A<b.
    • |A|\geq b vira A\leq -b ou A\geq b.
    • |A|> b vira A<-b ou A>b.
  • Dica de desenho rápido: ponto fechado = incluir (colocar um ponto cheio); ponto aberto = não incluir (círculo vazio); sombrear intervalo entre pontos ou as semi‑retas conforme o caso.

Resposta

\left(-2,\,3\right]
\left[-3,\,7\right]
\left(-\infty,\,-2\right)\cup\left(1,\,\infty\right)

Exercícios relacionados