Escreva em notação de intervalos e represente na reta real:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Há três conjuntos descritos por desigualdades; para cada um é pedido:
- escrever a solução em notação de intervalos;
- representar essa solução na reta real (indicar extremos abertos/fechados e a região que fica sombreada).
- Os conjuntos dados são:
-
. -
. -
.
-
Passo 2
Resolvendo o primeiro conjunto
.
- Observação sobre desigualdades compostas: uma expressão do tipo
significa que ambas as desigualdades e valem ao mesmo tempo. Podemos operar as três partes simultaneamente (somar, subtrair, multiplicar ou dividir) desde que aplicadas às três expressões e respeitando a regra: ao multiplicar/dividir por número negativo, inverte-se o sentido das desigualdades; ao somar/subtrair não se altera o sentido. - Passo algébrico 1: subtrair
das três partes para isolar o termo com : Calculando os termos numéricos: - Passo algébrico 2: dividir as três partes por
. Como , o sentido das desigualdades não muda: - Interpretação e notação de intervalo: a desigualdade
corresponde ao intervalo aberto à esquerda e fechado à direita - Representação na reta real: marca-se um círculo aberto em
(porque não está incluído), um círculo fechado em (porque está incluído) e sombreia-se a região entre eles.
Passo 3
Resolvendo o segundo conjunto
.
- Lembrete didático sobre valor absoluto: para qualquer número real
e qualquer , Em palavras: a distância de até é no máximo ; isso dá um intervalo central simétrico. - Aplicando a regra com
e : - Somando
em todas as partes para isolar : - Notação de intervalo correspondente:
Aqui ambos os extremos são incluídos (pontos fechados). - Representação na reta real: círculos fechados em
e em , e sombra contínua entre eles.
Passo 4
Resolvendo o terceiro conjunto
.
- Lembrete didático sobre valor absoluto com desigualdade estrita: para qualquer
e , Em palavras: a distância de até é maior que , então está fora do intervalo . - Aplicando com
e : - Resolver cada caso separadamente:
- Caso 1:
. Subtrair : Dividir por : - Caso 2:
. Subtrair : Dividir por :
- Caso 1:
- Reunindo as soluções (união de casos):
Em notação de intervalos: Observe que os extremos e são abertos (não incluídos) porque a desigualdade é estrita . - Representação na reta real: duas semi‑retas abertas, uma à esquerda de
(com círculo aberto em ) e outra à direita de (com círculo aberto em ).
Passo 5
Pequenos lembretes práticos para a prova (comodinho e direto):
- Para desigualdades lineares simples, sempre isolo
fazendo as mesmas operações em ambos os lados; lembre-se: dividir por número negativo inverte o sinal. - Para
: -
com vira . -
vira . -
vira ou . -
vira ou .
-
- Dica de desenho rápido: ponto fechado = incluir (colocar um ponto cheio); ponto aberto = não incluir (círculo vazio); sombrear intervalo entre pontos ou as semi‑retas conforme o caso.