Escreva o número complexo indicado na forma polar.
z=1+2 i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z=1+2i\, e pede que ele seja expresso na forma polar.
Informações relevantes fornecidas:
  • Parte real de z: \operatorname{Re}(z)=1.
  • Parte imaginária de z: \operatorname{Im}(z)=2.
    O que se pede:
  • Escrever z na forma polar, isto é como um módulo r multiplicando uma função trigonométrica com um ângulo \theta (forma trigonométrica) ou como r e^{i\theta} (forma exponencial).

Passo 2

Definição e fórmula do módulo (o comprimento do vetor no plano complexo).
O módulo de um número complexo z=x+yi é dado por
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z). A ideia: visualizar z como o ponto (x,y) no plano e aplicar o teorema de Pitágoras para a distância até a origem.

Passo 3

Cálculo do módulo para o nosso z. Usando x=1 e y=2:
r=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Portanto o módulo é \sqrt{5}. É um valor exato simples, que dá a “distância” de z até a origem.

Passo 4

Definição e fórmula do argumento (ângulo).
Para um número complexo z=x+yi com x\neq0, a relação entre as componentes e o ângulo \theta é
\tan(\theta)=\frac{y}{x}.
Aqui \theta é o argumento de z, que indica a direção do vetor (x,y) em relação ao eixo real positivo. É importante depois verificar em qual quadrante (x,y) está para escolher o \theta correto (adicionar ou não \pi etc.).

Passo 5

Aplicação ao nosso ponto: x=1 e y=2. Então
\tan(\theta)=\frac{2}{1}=2,
logo uma solução conveniente para o argumento é
\theta=\arctan(2).
Agora a questão do quadrante: como x=1>0 e y=2>0, o ponto está no primeiro quadrante, onde o ângulo obtido por \arctan está precisamente no intervalo principal (0,\tfrac{\pi}{2}). Assim não é necessário ajustar por \pi ou trocar ramos do arco-tangente.

Passo 6

Interpretação prática: a forma trigonométrica (polar) padrão de um número complexo é
z=r\bigl(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\bigr).
Substituindo r=\sqrt{5} e \theta=\arctan(2) obtemos a forma polar exata:
z=\sqrt{5}\,\bigl(\cos(\arctan(2))+i\sin(\arctan(2))\bigr).

Passo 7

Forma exponencial (alternativa frequentemente usada): pela fórmula de Euler,
e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta),
logo a forma polar pode também ser escrita como
z=\sqrt{5}\,e^{i\arctan(2)}.

Passo 8

Valores aproximados úteis (para conferir ou usar em cálculos numéricos). Calculando numericamente \arctan(2):
\arctan(2)\approx 1,1071487\\ \text{rad}\approx 63,434948^\circ.
Então a forma aproximada é
z\approx\sqrt{5}\,\bigl(\cos(1,1071487)+i\sin(1,1071487)\bigr)
ou
z\approx\sqrt{5}\,e^{i\,1,1071487}.

Resposta

\displaystyle z=\sqrt{5}\,\bigl(\cos(\arctan(2))+i\sin(\arctan(2))\bigr)
\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\arctan(2)}

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