Escreva o número complexo indicado na forma polar.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede que ele seja expresso na forma polar.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Parte real de
: . - Parte imaginária de
: .
O que se pede: - Escrever
na forma polar, isto é como um módulo multiplicando uma função trigonométrica com um ângulo (forma trigonométrica) ou como (forma exponencial).
Passo 2
Definição e fórmula do módulo (o comprimento do vetor no plano complexo).
O módulo de um número complexo é dado por
O módulo de um número complexo
Aqui
e
. A ideia: visualizar
como o ponto
no plano e aplicar o teorema de Pitágoras para a distância até a origem.
Passo 3
Cálculo do módulo para o nosso
. Usando
e
:
Portanto o módulo é
. É um valor exato simples, que dá a “distância” de
até a origem.
Passo 4
Definição e fórmula do argumento (ângulo).
Para um número complexo com
, a relação entre as componentes e o ângulo
é
Para um número complexo
Aqui
é o argumento de
, que indica a direção do vetor
em relação ao eixo real positivo. É importante depois verificar em qual quadrante
está para escolher o
correto (adicionar ou não
etc.).
Passo 5
Aplicação ao nosso ponto:
e
. Então
logo uma solução conveniente para o argumento é
Agora a questão do quadrante: como
e
, o ponto está no primeiro quadrante, onde o ângulo obtido por
está precisamente no intervalo principal
. Assim não é necessário ajustar por
ou trocar ramos do arco-tangente.
Passo 6
Interpretação prática: a forma trigonométrica (polar) padrão de um número complexo é
Substituindo
e
obtemos a forma polar exata:
Passo 7
Forma exponencial (alternativa frequentemente usada): pela fórmula de Euler,
logo a forma polar pode também ser escrita como
Passo 8
Valores aproximados úteis (para conferir ou usar em cálculos numéricos). Calculando numericamente
:
Então a forma aproximada é
ou