Escreva o número complexo indicado na forma polar.
z=\frac{3}{-1+i}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo indicado na forma polar. O que foi dado:
z=\frac{3}{-1+i}.
Objetivo claro: encontrar r (módulo) e \theta (argumento) tais que z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big) (ou equivalentemente z=re^{i\theta}).

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar z numa forma cartesiana x+iy para depois calcular módulo e argumento. Para dividir por um número complexo é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Lembrando que o conjugado de a+bi é a-bi. Aqui o denominador é -1+i, cujo conjugado é -1-i.
Multiplicando:
z=\frac{3}{-1+i}\cdot\frac{-1-i}{-1-i}=\frac{3(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}.

Passo 3

Calcular numerador e denominador separadamente. Numerador:
3(-1-i)=-3-3i.
Denominador usa a identidade (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Com a=-1 e b=i:
(-1+i)(-1-i)=(-1)^2-(i)^2=1-(-1)=2.
Portanto
z=\frac{-3-3i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}i.
Assim x=-\dfrac{3}{2} e y=-\dfrac{3}{2}.

Passo 4

Agora calculamos o módulo r. O módulo de um número complexo x+iy é dado por r=\sqrt{x^2+y^2}. Aqui:
r=\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{18}{4}}=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
É usual racionalizar o denominador escrevendo r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}. Então
r=\frac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Agora o argumento \theta. Para x+iy com x\neq0, a tangente do ângulo é \tan\theta=\dfrac{y}{x}. Aqui
\tan\theta=\frac{-\tfrac{3}{2}}{-\tfrac{3}{2}}=1.
A equação \tan\theta=1 tem soluções \theta=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Mas é preciso escolher k observando em qual quadrante o ponto (x,y) está. Como x<0 e y<0, o ponto está no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o ângulo correspondente à referência \pi/4 é
\theta=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Obs.: uma alternativa equivalente é usar \theta=-\dfrac{3\pi}{4} (mesma direção), mas a escolha \theta=\dfrac{5\pi}{4} é o argumento no intervalo [0,2\pi).

Passo 6

Agora escrevemos a forma polar com os valores encontrados. A forma trigonométrica é
z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Big(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Big).

Passo 7

Também podemos escrever na forma exponencial de Euler, que é muitas vezes mais compacta:
z=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}.

Passo 8

Verificação rápida (aula prática): \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. Então
\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{3}{2},
para ambas as partes real e imaginária, de modo que realmente volta para -\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i, conferindo a consistência.

Resposta

\displaystyle z=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Big(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Big)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}

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