Escreva o número complexo indicado na forma polar.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo indicado na forma polar. O que foi dado:
Objetivo claro: encontrar
(módulo) e
(argumento) tais que
(ou equivalentemente
).
Passo 2
Primeiro passo prático: transformar
numa forma cartesiana
para depois calcular módulo e argumento. Para dividir por um número complexo é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Lembrando que o conjugado de
é
. Aqui o denominador é
, cujo conjugado é
.
Multiplicando:
Passo 3
Calcular numerador e denominador separadamente. Numerador:
Denominador usa a identidade
. Com
e
:
Portanto
Assim
e
.
Passo 4
Agora calculamos o módulo
. O módulo de um número complexo
é dado por
. Aqui:
É usual racionalizar o denominador escrevendo
. Então
Passo 5
Agora o argumento
. Para
com
, a tangente do ângulo é
. Aqui
A equação
tem soluções
,
. Mas é preciso escolher
observando em qual quadrante o ponto
está. Como
e
, o ponto está no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o ângulo correspondente à referência
é
Obs.: uma alternativa equivalente é usar
(mesma direção), mas a escolha
é o argumento no intervalo
.
Passo 6
Agora escrevemos a forma polar com os valores encontrados. A forma trigonométrica é
Passo 7
Também podemos escrever na forma exponencial de Euler, que é muitas vezes mais compacta:
Passo 8
Verificação rápida (aula prática):
e
. Então
para ambas as partes real e imaginária, de modo que realmente volta para
, conferindo a consistência.