Escreva os números complexos na forma polar.
z=1-1-i raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o número complexo $ z = \frac{1}{-1 - i \sqrt{3}} $ na forma polar. A matéria aqui é sobre números complexos, especificamente como converter um número da forma retangular (a + bi) para a forma polar (r $ (\cos \theta + i \sin \theta) $ ou $ r e^{i\theta} $). Para resolver isso, vamos precisar calcular o módulo e o argumento do número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão $ z = \frac{1}{-1 - i \sqrt{3}} $. Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $ -1 - i \sqrt{3} $ é $ -1 + i \sqrt{3} $.
Então, temos:
z = 1-1 - i raiz3

Passo 3

Agora, vamos calcular o denominador:
(-1)^2 - (i raiz3)^2 = 1 - (i^2)(3) = 1 - (-1)(3) = 1 + 3 = 4
Então, a expressão simplificada fica:
z = -1 + i raiz34 = -14 + i raiz34

Passo 4

Agora que temos $ z = -\frac{1}{4} + i \frac{\sqrt{3}}{4} $, vamos encontrar o módulo $ r $. O módulo de um número complexo $ a + bi $ é dado por:
z = -14 + i raiz34
Então:
r

Passo 5

Agora vamos encontrar o argumento $ \theta $. O argumento é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Podemos usar a tangente para encontrar isso:
theta
Sabemos que $ \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} $, então $ \theta = 120^\circ $ ou $ \theta = \frac{2\pi}{3} $ radianos.

Resposta

A forma polar do número complexo $ z = \frac{1}{-1 - i \sqrt{3}} $ é:
z = 1-1 - i raiz3
ou, alternativamente,
z = 12 ( cos(2pi3) + i sin(2pi3) )

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