Escreva os números complexos na forma polar.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o número complexo $ z = \frac{1}{-1 - i \sqrt{3}} $ na forma polar. A matéria aqui é sobre números complexos, especificamente como converter um número da forma retangular (a + bi) para a forma polar (r $ (\cos \theta + i \sin \theta) $ ou $ r e^{i\theta} $). Para resolver isso, vamos precisar calcular o módulo e o argumento do número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ z = \frac{1}{-1 - i \sqrt{3}} $. Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $ -1 - i \sqrt{3} $ é $ -1 + i \sqrt{3} $.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o denominador:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 4
Agora que temos $ z = -\frac{1}{4} + i \frac{\sqrt{3}}{4} $, vamos encontrar o módulo $ r $. O módulo de um número complexo $ a + bi $ é dado por:
Então:
Passo 5
Agora vamos encontrar o argumento $ \theta $. O argumento é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Podemos usar a tangente para encontrar isso:
Sabemos que $ \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} $, então $ \theta = 120^\circ $ ou $ \theta = \frac{2\pi}{3} $ radianos.
Resposta
A forma polar do número complexo $ z = \frac{1}{-1 - i \sqrt{3}} $ é:
ou, alternativamente,