Escreva os números complexos a seguir na forma \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi}.
c) z=\sqrt{2}-\sqrt{2} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo dado na forma \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi}.
Informação fornecida: \mathrm{z}=\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i.
Pergunta explícita: qual é a forma \mathrm{a}+\mathrm{bi} correspondente a esse \mathrm{z} (ou seja, quais são \mathrm{a} e \mathrm{b})?

Passo 2

O que significa "forma \mathrm{a}+\mathrm{bi}"?
  • Um número complexo tem a forma geral \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi}, onde \mathrm{a} e \mathrm{b} são números reais.
  • Aqui \mathrm{a} chama-se parte real de \mathrm{z} e escreve-se \operatorname{Re}(\mathrm{z})=\mathrm{a}.
  • \mathrm{b} chama-se parte imaginária de \mathrm{z} e escreve-se \operatorname{Im}(\mathrm{z})=\mathrm{b}.
  • A letra i satisfaz i^{2}=-1.
    Esse passo é para você lembrar que, na forma \mathrm{a}+\mathrm{bi}, tudo que multiplica i é a parte imaginária \mathrm{b}, e o termo sem i é a parte real \mathrm{a}.

Passo 3

Agora observe o número dado: \mathrm{z}=\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i.
Compare com a forma \mathrm{a}+\mathrm{bi}: o termo sem i é \sqrt{2}, portanto
\operatorname{Re}(\mathrm{z})=\mathrm{a}=\sqrt{2}.
O termo que multiplica i é -\sqrt{2}, portanto
\operatorname{Im}(\mathrm{z})=\mathrm{b}=-\sqrt{2}.

Passo 4

Para reforçar: podemos reescrever \mathrm{z} explicitando \mathrm{a} e \mathrm{b}. Escrevendo \mathrm{a}=\sqrt{2} e \mathrm{b}=-\sqrt{2} obtemos a forma
\mathrm{z}=\sqrt{2}+(-\sqrt{2})\,i,
que é exatamente a forma \mathrm{a}+\mathrm{bi} com os valores identificados. Outra escrita útil, para ter intuição, é fatorar:
\mathrm{z}=\sqrt{2}(1-i),
mas atenção: nessa escrita o fator \sqrt{2} é comum; ainda assim a forma \mathrm{a}+\mathrm{bi} tem \mathrm{a}=\sqrt{2} e \mathrm{b}=-\sqrt{2}.

Passo 5

Dica rápida para a prova: quando tiver uma expressão do tipo \alpha+\beta\,i basta identificar \mathrm{a}=\alpha e \mathrm{b}=\beta. Se a expressão vier fatorada (por exemplo \gamma(1\pm i)), distribua para encontrar os termos com e sem i. Exemplo extra: em -3+4i temos \mathrm{a}=-3 e \mathrm{b}=4.

Resposta

\mathrm{z}=\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i

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