Q2
Um resistor de 90 \Omega, um indutor de 32 mH e um capacitor de 5 \mu \mathrm{~F} estão conectados em série aos terminais de uma fonte de tensão senoidal. A tensão da fonte é dada por:
v(t)=75 \cos \left(5000 t+30^{\circ}\right) \mathrm{V}
  • Construa o circuito equivalente no domínio da frequência.
  • Calcule a corrente em regime permanente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Construir o circuito equivalente no domínio da frequência para um circuito série formado por um resistor, um indutor e um capacitor alimentados por uma fonte senoidal.
  • Calcular a corrente do circuito em regime permanente (isto é, a corrente senoidal estacionária).
Dados que o enunciado fornece:
R=90\\ \Omega,
L=32\\ \text{mH}=32\times10^{-3}\\ \text{H},
C=5\\ \mu\text{F}=5\times10^{-6}\\ \text{F},
v(t)=75\cos\bigl(5000\,t+30^\circ\bigr)\\ \text{V}.
Também extraí do enunciado que a frequência angular da fonte é
\omega=5000\\ \text{rad/s}.

Passo 2

Vamos explicar a ideia do domínio da frequência e as fórmulas que usaremos (passo-a-passo e bem mastigado).
  • Phasor: para tensões e correntes senoidais com a mesma frequência usamos representação fasorial. A fonte v(t)=75\cos(5000t+30^\circ) corresponde ao fasor de amplitude de pico
\tilde{V}=75\angle 30^\circ\\ \text{V}
(se preferir trabajar com valores RMS, dividiríamos por \sqrt{2}; aqui uso picos para ficar direto com o enunciado).
  • Impedâncias (definição e significado):
    • Resistor: a impedância de um resistor é real e igual à resistência: Z_R=R.Isso significa que tensão e corrente no resistor estão em fase.
    • Indutor: a impedância do indutor depende da frequência e é imaginária positiva: Z_L=j\omega L,onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1), \omega é a frequência angular em rad/s e L é a indutância em henry. Num indutor a tensão adianta a corrente (tensão em fase mais positiva).
    • Capacitor: a impedância do capacitor também depende da frequência e é imaginária negativa: Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}.Num capacitor a corrente adianta a tensão (corrente em fase mais positiva).
  • Para elementos em série, as impedâncias se somam:
    Z_{\text{eq}}=Z_R+Z_L+Z_C.
  • Corrente fasorial: com o circuito em série a corrente é a mesma em todos os elementos e é dada por
    \tilde{I}=\frac{\tilde{V}}{Z_{\text{eq}}}.
    Depois podemos voltar ao domínio do tempo: i(t)=I_{\text{p}}\cos(\omega t+\varphi_I), onde I_{\text{p}}=|\tilde{I}| é a amplitude pico e \varphi_I é o argumento (fase) do fasor \tilde{I}.

Passo 3

Calcular as impedâncias numéricas usando \omega=5000\\ \text{rad/s}:
  • Indutor:
Z_L=j\omega L = j\cdot 5000\cdot(32\times10^{-3}) = j\cdot 5000\cdot 0{,}032 = j\cdot 160 = j160\\ \Omega.
  • Capacitor:
\omega C = 5000\cdot(5\times10^{-6}) = 0{,}025,
Z_C=\frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C} = -j\frac{1}{0{,}025} = -j40\\ \Omega.
  • Resistor já é
Z_R=90\\ \Omega.

Passo 4

Construção do circuito equivalente no domínio da frequência (descrição clara e direta):
A fonte fasorial é
\tilde{V}=75\angle 30^\circ\\ \text{V}.
Em série com ela estão, na ordem que quiser, os três impedâncias:
Z_R=90\\ \Omega,\qquad Z_L=j160\\ \Omega,\qquad Z_C=-j40\\ \Omega.
Ou seja, o circuito equivalente é: \tilde{V} em série com 90\\ \Omega, j160\\ \Omega e -j40\\ \Omega.

Passo 5

Somar as impedâncias para obter a impedância total:
Somando as partes reais e imaginárias:
Z_{\text{eq}}=90 + j160 + (-j40) = 90 + j(160-40) = 90 + j120\\ \Omega.
Calcular módulo e fase de Z_{\text{eq}}:
|Z_{\text{eq}}|=\sqrt{90^2 + 120^2} = \sqrt{8100 + 14400} = \sqrt{22500} = 150\\ \Omega,
\angle Z_{\text{eq}}=\arctan\!\left(\frac{120}{90}\right)=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right)\approx 53{,}130102^\circ.
Portanto
Z_{\text{eq}}=150\angle 53{,}1301^\circ\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a corrente fasorial usando divisão de fasores (dividir módulo por módulo e subtrair ângulos):
\tilde{I}=\frac{\tilde{V}}{Z_{\text{eq}}}=\frac{75\angle 30^\circ}{150\angle 53{,}1301^\circ}=\frac{75}{150}\angle(30^\circ-53{,}1301^\circ).
\frac{75}{150}=0{,}5,\qquad 30^\circ-53{,}1301^\circ=-23{,}1301^\circ.
Logo
\tilde{I}=0{,}5\angle -23{,}1301^\circ\\ \text{A}
(este é o fasor da corrente em amplitude de pico).
Se quiser o valor em RMS:
I_{\text{rms}}=\frac{0{,}5}{\sqrt{2}} \angle -23{,}1301^\circ \approx 0{,}3536\angle -23{,}13^\circ\\ \text{A}.

Passo 7

Voltar ao domínio do tempo (corrente em regime permanente):
A corrente no tempo, usando a amplitude de pico 0{,}5 A e a mesma frequência \omega=5000 rad/s, é
i(t)=0{,}5\cos\bigl(5000\,t-23{,}1301^\circ\bigr)\\ \text{A}.
Comentário rápido (cheque mental): a parte reativa resultante é indutiva ( j120>0), então a corrente fica defasada negativamente em relação à tensão (isto é, a corrente atrasa a tensão) — o que aparece no ângulo -23{,}13^\circ.

Resposta

Circuito equivalente no domínio da frequência: \tilde{V}=75\angle 30^\circ\\ \text{V} em série com Z_R=90\\ \Omega, Z_L=j160\\ \Omega e Z_C=-j40\\ \Omega (com \omega=5000\\ \text{rad/s}).
Corrente em regime permanente: i(t)=0{,}5\cos\bigl(5000\,t-23{,}1301^\circ\bigr)\\ \text{A}.

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