Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do 
  e escreva a série 
 
Passo 1
Então, pelo enunciado, a gente precisa fazer três coisas: primeiro, escrever os 5 primeiros termos da série de 
 ; segundo, encontrar os 5 primeiros termos dessa série; e terceiro, escrever a série de 
  que já foi dada. Vamos usar conceitos de séries de Taylor para resolver isso. Precisamos saber como expandir as funções trigonométricas em séries infinitas.
Passo 2
Vamos começar encontrando os 5 primeiros termos da série de 
 . A série de Taylor para 
  em torno de 0 é dada por:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências pares de 
  divididas pelo fatorial desses números.
Passo 3
Agora, vamos expandir essa série para os primeiros 5 termos substituindo 
  de 0 a 4:
- Para 
:  
- Para 
:  
- Para 
:  
- Para 
:  
- Para 
:  
Passo 4
Juntando todos os termos que calculamos, os 5 primeiros termos da série de 
  são:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a série de 
  que foi fornecida no enunciado. A série de Taylor para 
  em torno de 0 é:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências ímpares de 
  divididas pelo fatorial desses números.
Resposta
Os 5 primeiros termos da série de 
  são:
E a série de 
  é: