Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+1}{3 n+2}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+1}{3 n+2}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Escrever os quatro primeiros termos da série infinita
. - Determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, obter a sua soma.
Informações dadas:
- A série é
. - As variáveis e índices estão padronizados:
é o índice que vai de até .
Passo 2
Calcular explicitamente os primeiros termos plugando
na expressão do termo geral
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Portanto os quatro primeiros termos são
.
Passo 3
Explicação didática da condição necessária para convergência de uma série numérica (teste do termo geral):
Uma condição necessária (não suficiente) para que uma série infinita seja convergente é que o termo geral
tenda a zero quando
. Ou seja, se
Uma condição necessária (não suficiente) para que uma série infinita
então a série diverge. Esse resultado é muito útil porque é um teste rápido: antes de tentar testes mais sofisticados, verificamos o limite do termo geral.
Passo 4
Aplicar o teste do termo geral ao nosso termo
. Vamos calcular o limite quando
.
Para frações racionais onde o numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau (aqui ambos têm grau
), o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Formalmente:
Ou simplesmente reconhecer que os termos de maior ordem dominam e o limite é
.
Passo 5
Interpretação do resultado do passo anterior: encontramos
Pelo teste do termo geral, isso já implica que a série
diverge. Não faz sentido buscar soma numérica quando a série diverge: não existe soma finita.
Adição (intuição sobre o comportamento das somas parciais): como os termos não vão a zero e são positivos (cada termo é aproximadamente
para
grande), as somas parciais tendem a crescer sem limite (divergem para
). Isso reforça a conclusão de divergência.
Resposta
Primeiros quatro termos:
Convergência: a série diverge (não tem soma), porque .
Convergência: a série diverge (não tem soma), porque