Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+1}{3 n+2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever os quatro primeiros termos da série infinita \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+1}{3 n+2}.
  • Determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, obter a sua soma.
Informações dadas:
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+1}{3 n+2}.
  • As variáveis e índices estão padronizados: n é o índice que vai de 1 até +\infty.

Passo 2

Calcular explicitamente os primeiros termos plugando n=1,2,3,4 na expressão do termo geral \dfrac{2n+1}{3n+2}.
Para n=1:
\frac{2\cdot 1+1}{3\cdot 1+2}=\frac{2+1}{3+2}=\frac{3}{5}.
Para n=2:
\frac{2\cdot 2+1}{3\cdot 2+2}=\frac{4+1}{6+2}=\frac{5}{8}.
Para n=3:
\frac{2\cdot 3+1}{3\cdot 3+2}=\frac{6+1}{9+2}=\frac{7}{11}.
Para n=4:
\frac{2\cdot 4+1}{3\cdot 4+2}=\frac{8+1}{12+2}=\frac{9}{14}.
Portanto os quatro primeiros termos são \dfrac{3}{5},\\ \dfrac{5}{8},\\ \dfrac{7}{11},\\ \dfrac{9}{14}.

Passo 3

Explicação didática da condição necessária para convergência de uma série numérica (teste do termo geral):
Uma condição necessária (não suficiente) para que uma série infinita \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n seja convergente é que o termo geral a_n tenda a zero quando n\to\infty. Ou seja, se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0,
então a série diverge. Esse resultado é muito útil porque é um teste rápido: antes de tentar testes mais sofisticados, verificamos o limite do termo geral.

Passo 4

Aplicar o teste do termo geral ao nosso termo a_n=\dfrac{2n+1}{3n+2}. Vamos calcular o limite quando n\to\infty.
Para frações racionais onde o numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau (aqui ambos têm grau 1), o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Formalmente:
\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{n\left(2+\tfrac{1}{n}\right)}{n\left(3+\tfrac{2}{n}\right)} = \frac{2}{3}.
Ou simplesmente reconhecer que os termos de maior ordem dominam e o limite é \dfrac{2}{3}.

Passo 5

Interpretação do resultado do passo anterior: encontramos
\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2}=\frac{2}{3}\neq 0.
Pelo teste do termo geral, isso já implica que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{3n+2} diverge. Não faz sentido buscar soma numérica quando a série diverge: não existe soma finita.
Adição (intuição sobre o comportamento das somas parciais): como os termos não vão a zero e são positivos (cada termo é aproximadamente 2/3 para n grande), as somas parciais tendem a crescer sem limite (divergem para +\infty). Isso reforça a conclusão de divergência.

Resposta

Primeiros quatro termos: \dfrac{3}{5},\\ \dfrac{5}{8},\\ \dfrac{7}{11},\\ \dfrac{9}{14}
Convergência: a série diverge (não tem soma), porque \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2}=\frac{2}{3}\neq 0.

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