Conhecemos a soma parcial da forma \sum_{k=0}^{N-1} r^{k}=\dfrac{1-r^{N}}{1-r} quando r\neq1. Daí se |r|<1 fazemos N\to\infty e obtemos a soma infinita \sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\dfrac{1}{1-r}. Para a forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} basta notar que \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}-1=\dfrac{1}{1-r}-1=\dfrac{r}{1-r} (valendo quando |r|<1).
Passo 3
Verificamos a condição de convergência para a razão:
Como |r|<1, a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge. Portanto a série original converge também (pois é um múltiplo constante dessa série).
Passo 4
Agora vamos obter a soma usando a fórmula para a série geométrica iniciando em n=1: