Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
7.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}
E pede duas coisas:
  • determinar se a série é convergente ou divergente;
  • se for convergente, encontrar a sua soma.

Passo 2

Vamos identificar o tipo de série. Primeiro note que a constante \dfrac{4}{3} pode ser fatorada fora da soma:
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n} = \frac{4}{3}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}.
A soma interior \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{5}{7}\right)^{n} é uma série geométrica no formato \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} com razão r=\dfrac{5}{7}.
Explicando o conceito (passo-a-passo): uma série geométrica pode aparecer nas formas
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}\quad\text{ou}\quad\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}.
Conhecemos a soma parcial da forma \sum_{k=0}^{N-1} r^{k}=\dfrac{1-r^{N}}{1-r} quando r\neq1. Daí se |r|<1 fazemos N\to\infty e obtemos a soma infinita \sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\dfrac{1}{1-r}. Para a forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} basta notar que \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}-1=\dfrac{1}{1-r}-1=\dfrac{r}{1-r} (valendo quando |r|<1).

Passo 3

Verificamos a condição de convergência para a razão:
r=\frac{5}{7},\qquad |r|=\left|\frac{5}{7}\right|=\frac{5}{7}<1.
Como |r|<1, a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge. Portanto a série original converge também (pois é um múltiplo constante dessa série).

Passo 4

Agora vamos obter a soma usando a fórmula para a série geométrica iniciando em n=1:
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}\qquad\text{(quando \(|r|<1\))}.
Aplicando com r=\dfrac{5}{7} temos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}=\frac{\tfrac{5}{7}}{1-\tfrac{5}{7}}.

Passo 5

Calculemos passo a passo essa fração e multipliquemos pelo fator \dfrac{4}{3}:
1-\frac{5}{7}=\frac{7-5}{7}=\frac{2}{7},
\frac{\tfrac{5}{7}}{\,\tfrac{2}{7}\,}=\frac{5}{7}\cdot\frac{7}{2}=\frac{5}{2}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}=\frac{5}{2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{4}{3}:
\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{2}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}.

Resposta

A série converge.
Soma =\dfrac{10}{3}

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