Escreva a relação de transformação e obtenha a matriz Jacobiana para as seguintes transformações de coordenadas:
cartesianas para esféricas
cartesianas para esféricas
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se escrever a relação de transformação entre coordenadas cartesianas e esféricas e obter a matriz Jacobiana correspondente.
- Informação implícita: é necessário escolher uma convenção para as coordenadas esféricas (há convenções diferentes).
O que vou entregar no final: - As fórmulas de transformação (ida e volta) entre
e . - A matriz Jacobiana da transformação que leva
para e o determinante dessa matriz (que é o fator de escala de volume).
Passo 2
Escolha da convenção (deixo explícito para não haver ambiguidade):
- Vai-se usar a convenção padrão da física/engenharia:
-
é a distância radial até a origem; -
é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo positivo; -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário.
-
- Nessa convenção as relações diretas (esféricas
cartesianas) são as usuais mostradas a seguir.
Passo 3
Escrevendo a relação de transformação (derivação intuitiva curta):
- Imagine a posição de um ponto descrita por
. - Projetando no plano
obtém-se um raio de comprimento . A componente ao longo de é . - No plano
a projeção tem coordenadas polares com , portanto as coordenadas cartesianas são:
- As fórmulas inversas (cartesianas
esféricas) que permitem obter a partir de são:
Passo 4
Definição da matriz Jacobiana que vamos calcular:
- Vou calcular a matriz Jacobiana da transformação paramétrica
, isto é a matriz das derivadas parciais
cuja entrada
é
.
- Esse Jacobiano é o que aparece normalmente na mudança de variáveis para integrais de volume, e seu determinante dá o elemento de volume
.
Passo 5
Calcular todas as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
Começando das fórmulas
Começando das fórmulas
calculemos as derivadas parciais:
Derivadas em relação a
:
Derivadas em relação a
:
Derivadas em relação a
:
Passo 6
Montando a matriz Jacobiana
:
- Colocando as colunas na ordem
, obtemos
Passo 7
Cálculo do determinante de
(fator de escala de volume):
- Uma forma organizada é fatorar
da segunda coluna e da terceira coluna:
- Chamando a matriz interna de
, podemos calcular por expansão. Calculando explicitamente (cada termo mostrado):- Expansão pela primeira linha dá, após calcular os menores e simplificar trigonométricamente,
(os passos algébricos usam as identidades e .) - Portanto
- Interpretação rápida: isso mostra que o elemento de volume no espaço cartesiano é
o que é a fórmula padrão usada em integrais triplas.]