Escreva a relação de transformação e obtenha a matriz Jacobiana para as seguintes transformações de coordenadas:
cartesianas para esféricas

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se escrever a relação de transformação entre coordenadas cartesianas e esféricas e obter a matriz Jacobiana correspondente.
  • Informação implícita: é necessário escolher uma convenção para as coordenadas esféricas (há convenções diferentes).
    O que vou entregar no final:
  • As fórmulas de transformação (ida e volta) entre (x,y,z) e (r,\theta,\varphi).
  • A matriz Jacobiana da transformação que leva (r,\theta,\varphi) para (x,y,z) e o determinante dessa matriz (que é o fator de escala de volume).

Passo 2

Escolha da convenção (deixo explícito para não haver ambiguidade):
  • Vai-se usar a convenção padrão da física/engenharia:
    • \,r\ge 0 é a distância radial até a origem;
    • \theta\in[0,\pi] é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo z positivo;
    • \varphi\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário.
  • Nessa convenção as relações diretas (esféricas \to cartesianas) são as usuais mostradas a seguir.

Passo 3

Escrevendo a relação de transformação (derivação intuitiva curta):
  • Imagine a posição de um ponto descrita por (r,\theta,\varphi).
  • Projetando no plano xy obtém-se um raio de comprimento r\sin\theta. A componente ao longo de z é r\cos\theta.
  • No plano xy a projeção tem coordenadas polares (\rho,\varphi) com \rho=r\sin\theta, portanto as coordenadas cartesianas são:
x = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = r\cos\theta.
  • As fórmulas inversas (cartesianas \to esféricas) que permitem obter (r,\theta,\varphi) a partir de (x,y,z) são:
r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}, \qquad \theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{r}\right), \qquad \varphi = \operatorname{atan2}(y,x).

Passo 4

Definição da matriz Jacobiana que vamos calcular:
  • Vou calcular a matriz Jacobiana da transformação paramétrica \mathbf{F}:(r,\theta,\varphi)\mapsto(x,y,z), isto é a matriz das derivadas parciais
J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}
cuja entrada (i,j) é \partial(\text{componente }i)/\partial(\text{coord }j).
  • Esse Jacobiano é o que aparece normalmente na mudança de variáveis para integrais de volume, e seu determinante dá o elemento de volume dV = |\det J|\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Calcular todas as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
Começando das fórmulas
x = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = r\cos\theta,
calculemos as derivadas parciais:
Derivadas em relação a r:
\frac{\partial x}{\partial r} = \sin\theta\cos\varphi, \qquad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta\sin\varphi, \qquad \frac{\partial z}{\partial r} = \cos\theta.
Derivadas em relação a \theta:
\frac{\partial x}{\partial \theta} = r\cos\theta\cos\varphi, \qquad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta\sin\varphi, \qquad \frac{\partial z}{\partial \theta} = -r\sin\theta.
Derivadas em relação a \varphi:
\frac{\partial x}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi, \qquad \frac{\partial y}{\partial \varphi} = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad \frac{\partial z}{\partial \varphi} = 0.

Passo 6

Montando a matriz Jacobiana J:
  • Colocando as colunas na ordem \partial/\partial r,\\ \partial/\partial\theta,\\ \partial/\partial\varphi, obtemos
J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\[6pt] \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\[6pt] \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Cálculo do determinante de J (fator de escala de volume):
  • Uma forma organizada é fatorar r da segunda coluna e r\sin\theta da terceira coluna:
\det J = r\cdot (r\sin\theta)\cdot \det \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \cos\theta\cos\varphi & -\sin\varphi \\[4pt] \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\sin\varphi & \cos\varphi \\[4pt] \cos\theta & -\sin\theta & 0 \end{pmatrix}.
  • Chamando a matriz interna de M, podemos calcular \det M por expansão. Calculando explicitamente (cada termo mostrado):
    • Expansão pela primeira linha dá, após calcular os menores e simplificar trigonométricamente,
    \det M = \sin^2\theta\cos^2\varphi + \cos^2\theta\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1.(os passos algébricos usam as identidades \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 e \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1.)
  • Portanto
\det J = r^2\sin\theta.
  • Interpretação rápida: isso mostra que o elemento de volume no espaço cartesiano é
dV = |\det J|\,dr\,d\theta\,d\varphi = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
o que é a fórmula padrão usada em integrais triplas.]

Resposta

x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\[6pt] \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\[6pt] \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix}, \qquad \det J = r^{2}\sin\theta.]

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