Escreva a relação de transformação e obtenha a matriz Jacobiana para as seguintes transformações de coordenadas:
cartesianas para cilindrícas
Passo 1
O que o problema pede: escrever a relação de transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas e obter a matriz Jacobiana dessa transformação.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Coordenadas cartesianas: (x,y,z).
Coordenadas cilíndricas: (r,\theta,z).
A transformação deve fornecer (r,\theta,z) em função de (x,y,z).
A matriz Jacobiana pedida é a matriz das derivadas parciais de (r,\theta,z) em relação a (x,y,z), isto é a matriz \dfrac{\partial(r,\theta,z)}{\partial(x,y,z)}.
Passo 2
Escrevendo a relação de transformação (explicando o porquê de cada fórmula, devagar e com carinho):
O raio r é a distância do ponto (x,y,z) ao eixo z. Geometricamente isso é a hipotenusa do triângulo com catetos x e y. Logo
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O ângulo \theta é o ângulo (no plano xy) entre o eixo x positivo e o vetor (x,y). Uma forma comum de escrevê-lo é usando a função arco-tangente:
\theta=\operatorname{atan2}(y,x),
que representa a versão de \arctan(y/x) que conserva o quadrante correto. Se preferir a escrita elementar, para pontos com x\neq0 pode-se usar
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right),
lembrando de ajustar o quadrante quando x<0.
A coordenada z permanece igual:
z=z.
Passo 3
Definição prática da matriz Jacobiana que vamos calcular: para a transformação
T(x,y,z) = (r(x,y,z),\,\theta(x,y,z),\,z),
a matriz Jacobiana J é a matriz 3\times3 cujos elementos são
J_{ij}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j},
onde (u_1,u_2,u_3)=(r,\theta,z) e (x_1,x_2,x_3)=(x,y,z). Em forma de bloco:
Cálculo das derivadas parciais de \theta. Vou usar a forma \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) para derivar (com a observação do uso de \operatorname{atan2} para quadrantes). Seja u=\dfrac{y}{x}. Então \theta=\arctan(u) e \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Aplicando regra da cadeia:
Comentário final (útil para a prova): o determinante dessa matriz é
\det J = \frac{1}{r},
o que aparece frequentemente ao mudar de variáveis em integrais quando se troca (x,y,z) por (r,\theta,z) — daí que o elemento de volume se transforma como dx\,dy\,dz = \dfrac{1}{r}\,dr\,d\theta\,dz para esta Jacobiana específica da transformação inversa (atenção: isso conecta-se à forma usual de elemento de volume em coordenadas cilíndricas dV = r\,dr\,d\theta\,dz dependendo de qual transformação (direta ou inversa) está sendo usada; aqui mostramos a Jacobiana de (x,y,z)\mapsto(r,\theta,z)).
Resposta
Relação de transformação:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x)\quad(\text{ou }\theta=\arctan\!\tfrac{y}{x}\text{ com ajuste de quadrante}),\qquad z=z.