Escreva a relação de transformação e obtenha a matriz Jacobiana para as seguintes transformações de coordenadas:
cartesianas para cilindrícas

Passo 1

O que o problema pede: escrever a relação de transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas e obter a matriz Jacobiana dessa transformação.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Coordenadas cartesianas: (x,y,z).
  • Coordenadas cilíndricas: (r,\theta,z).
  • A transformação deve fornecer (r,\theta,z) em função de (x,y,z).
  • A matriz Jacobiana pedida é a matriz das derivadas parciais de (r,\theta,z) em relação a (x,y,z), isto é a matriz \dfrac{\partial(r,\theta,z)}{\partial(x,y,z)}.

Passo 2

Escrevendo a relação de transformação (explicando o porquê de cada fórmula, devagar e com carinho):
  • O raio r é a distância do ponto (x,y,z) ao eixo z. Geometricamente isso é a hipotenusa do triângulo com catetos x e y. Logo
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O ângulo \theta é o ângulo (no plano xy) entre o eixo x positivo e o vetor (x,y). Uma forma comum de escrevê-lo é usando a função arco-tangente:
\theta=\operatorname{atan2}(y,x),
que representa a versão de \arctan(y/x) que conserva o quadrante correto. Se preferir a escrita elementar, para pontos com x\neq0 pode-se usar
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right),
lembrando de ajustar o quadrante quando x<0.
  • A coordenada z permanece igual:
z=z.

Passo 3

Definição prática da matriz Jacobiana que vamos calcular: para a transformação
T(x,y,z) = (r(x,y,z),\,\theta(x,y,z),\,z),
a matriz Jacobiana J é a matriz 3\times3 cujos elementos são
J_{ij}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j},
onde (u_1,u_2,u_3)=(r,\theta,z) e (x_1,x_2,x_3)=(x,y,z). Em forma de bloco:
J= \begin{pmatrix} \frac{\partial r}{\partial x} & \frac{\partial r}{\partial y} & \frac{\partial r}{\partial z} \\[6pt] \frac{\partial \theta}{\partial x} & \frac{\partial \theta}{\partial y} & \frac{\partial \theta}{\partial z} \\[6pt] \frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais de r. Use a regra da cadeia e derivada de potência:
r=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{r}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{y}{r}.
Derivando em relação a z:
\frac{\partial r}{\partial z}=0,
pois r não depende de z.

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais de \theta. Vou usar a forma \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) para derivar (com a observação do uso de \operatorname{atan2} para quadrantes). Seja u=\dfrac{y}{x}. Então \theta=\arctan(u) e \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Aplicando regra da cadeia:
Derivada em relação a x:
\frac{\partial \theta}{\partial x} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Simplificando o fator:
\frac{1}{1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}}=\frac{1}{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Derivada em relação a y:
\frac{\partial \theta}{\partial y} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Derivada em relação a z:
\frac{\partial \theta}{\partial z}=0,
pois \theta não depende de z.
Observação útil: como x^{2}+y^{2}=r^{2}, podemos reescrever
\frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{r^{2}},\qquad \frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{x}{r^{2}}.

Passo 6

Derivadas parciais de z: como a coordenada transformada terceira é exatamente z,
\frac{\partial z}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.

Passo 7

Montando a matriz Jacobiana juntando as derivadas calculadas. Em termos de x,y e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, a matriz é
J= \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{x}{r} & \displaystyle \frac{y}{r} & 0 \\[8pt] \displaystyle -\frac{y}{r^{2}} & \displaystyle \frac{x}{r^{2}} & 0 \\[8pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Se preferir expressa em termos apenas de x e y (sem usar r):
J= \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \displaystyle \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & 0 \\[8pt] \displaystyle -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} & \displaystyle \frac{x}{x^{2}+y^{2}} & 0 \\[8pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Comentário final (útil para a prova): o determinante dessa matriz é
\det J = \frac{1}{r},
o que aparece frequentemente ao mudar de variáveis em integrais quando se troca (x,y,z) por (r,\theta,z) — daí que o elemento de volume se transforma como dx\,dy\,dz = \dfrac{1}{r}\,dr\,d\theta\,dz para esta Jacobiana específica da transformação inversa (atenção: isso conecta-se à forma usual de elemento de volume em coordenadas cilíndricas dV = r\,dr\,d\theta\,dz dependendo de qual transformação (direta ou inversa) está sendo usada; aqui mostramos a Jacobiana de (x,y,z)\mapsto(r,\theta,z)).

Resposta

Relação de transformação:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x)\quad(\text{ou }\theta=\arctan\!\tfrac{y}{x}\text{ com ajuste de quadrante}),\qquad z=z.
Matriz Jacobiana \dfrac{\partial(r,\theta,z)}{\partial(x,y,z)}:
\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \displaystyle \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & 0 \\[8pt] \displaystyle -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} & \displaystyle \frac{x}{x^{2}+y^{2}} & 0 \\[8pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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