(2,0) Escreva um resumo da teoria de séries contemplando os critérios de convergência que você estudou.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente fazer um resumo sobre a teoria de séries, focando nos critérios de convergência. Basicamente, séries são somas infinitas de termos, e a gente precisa entender quando essas somas “se estabilizam” ou não, ou seja, quando elas convergem. Para isso, vamos precisar conhecer alguns métodos para verificar essa convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série. Imagine que você tem uma sequência de números, tipo 1, 1/2, 1/4, 1/8, e assim por diante. Se você somar esses números infinitamente, chega a algum valor específico? Se sim, dizemos que a série converge; se não, ela diverge.
Passo 3
Um dos critérios mais básicos para verificar a convergência de uma série é o Critério da Série Geométrica. Esse critério funciona bem para séries onde cada termo é o múltiplo do anterior por uma constante fixa, chamada razão, que representamos por
. A série
converge se
e a soma dela é
.
Passo 4
Outro método importante é o Teste da Razão. Aqui, a gente analisa o limite do quociente entre termos consecutivos da série:
. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 5
Temos também o Teste da Comparação. Nesse caso, comparamos a série que estamos estudando com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores que os termos de uma série convergente, então a nossa série também converge. É uma forma de usar o que já sabemos para entender novas séries.
Passo 6
Outro critério útil é o Teste da Integral. Esse teste relaciona a série infinita com uma integral. Se a integral associada a uma função que representa os termos da série converge, então a série também converge. É especialmente útil para séries com termos que são funções contínuas, positivas e decrescentes.
Resposta
Então, resumindo, a teoria de séries envolve entender quando uma soma infinita de termos chega a um valor específico, ou seja, converge. Para isso, usamos critérios como a Série Geométrica, o Teste da Razão, o Teste da Comparação e o Teste da Integral. Cada um desses métodos nos ajuda a determinar se a série que estamos analisando se estabiliza ou não, facilitando o estudo e a aplicação das séries em diferentes contextos matemáticos.