Resolva os limites a seguir:
lim x pi / 3 raiz3-2 sen xx-pi / 3
R.: -1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que você mandou:
Aqui, estamos lidando com limites, que é um tópico fundamental no cálculo. Para resolver esse tipo de limite, especialmente quando substituímos diretamente e acabamos com uma forma indeterminada como lim x pi / 3 raiz3 - 2 cdot sen xx - pi / 3, vamos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos ajuda a encontrar o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se tentarmos substituir x = pi/3 diretamente na expressão:
No numerador:
No denominador:
raiz3 - 2 cdot sen(pi3) = raiz3 - 2 cdot (raiz32) = raiz3 - raiz3 = 0
Então, temos uma forma indeterminada x - pi3 = pi3 - pi3 = 0. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
ddx ( raiz3 - 2 cdot sen x ) = 0 - 2 cdot cos x = -2 cdot cos x

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar do limite original:
lim x pi / 3 -2 cdot cos x1 = -2 cdot cos(pi3)
Sabemos que:
cos(pi3) = 12

Passo 5

Substituindo o valor de cos(pi3):
-2 cdot 12 = -1

Resposta

-1

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