Escreva a seguinte integral(dada em coordenadas cilíndricas) em coordenadas esféricas
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{25-z^{2}}} r^{2} \operatorname{sen} \theta d r d z d \theta

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral fornecida (que está em coordenadas cilíndricas) em coordenadas esféricas. A integral dada é
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{5} \int_{0}^{\sqrt{25-z^{2}}} r^{2}\sin\theta \, dr \, dz \, d\theta.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • As variáveis são as de coordenadas cilíndricas: r (raio no plano xy), z (altura) e \theta (ângulo azimutal no plano xy).
  • Limites: \theta vai de 0 a \pi; z vai de 0 a 5; r vai de 0 a \sqrt{25-z^{2}}.
  • Integrando-se a função r^{2}\sin\theta com o diferencial dr\,dz\,d\theta.
  • A tarefa é apenas trocar a expressão para coordenadas esféricas (não calcular o valor numérico).

Passo 2

Vamos lembrar as definições das coordenadas esféricas e as relações com as coordenadas cilíndricas (explicando o que cada letra significa):
  • Em coordenadas esféricas usa-se \rho para a distância ao origem, \varphi para o ângulo polar (ângulo entre o vetor posição e o eixo z, 0\le\varphi\le\pi), e \theta para o ângulo azimutal no plano xy (o mesmo \theta das coordenadas cilíndricas).
  • As relações entre as coordenadas são
r = \rho\sin\varphi,\qquad z = \rho\cos\varphi,\qquad \theta=\theta.
Aqui: \rho\ge0 é o raio esférico, \varphi mede o “desvio” em relação ao eixo z (se \varphi=0 está sobre o eixo +z), e \theta é o ângulo no plano xy.
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Também convém lembrar que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Primeiro explique como tratar o integrando e o diferencial dado:
  • A expressão original r^{2}\sin\theta\, dr\, dz\, d\theta pode ser vista como \bigl(r\sin\theta\bigr)\cdot\bigl(r\,dr\,d\theta\,dz\bigr). Ou seja,
r^{2}\sin\theta\, dr\, dz\, d\theta = \bigl(r\sin\theta\bigr)\, dV,
porque dV=r\,dr\,d\theta\,dz em coordenadas cilíndricas. Essa é uma forma útil: identificar a função escalar integrada f(r,\theta,z)=r\sin\theta e multiplicá‑la pelo elemento de volume dV.
  • Agora substituímos r=\rho\sin\varphi e o elemento de volume esférico dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Fazendo isso:
r\sin\theta = (\rho\sin\varphi)\sin\theta,
e
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Multiplicando,
\bigl(r\sin\theta\bigr)\,dV = (\rho\sin\varphi)\sin\theta \cdot \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Portanto a parte integranda transformada (função vezes diferencial de volume) é \rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Agora vamos encontrar os limites de integração em (\rho,\varphi,\theta) que descrevem a mesma região:
  • A desigualdade 0\le z\le5 com 0\le r\le\sqrt{25-z^{2}} descreve os pontos satisfazendo 0\le z\le5 e r^{2}+z^{2}\le25. Em termos esféricos isso é simplesmente 0\le \rho\le5 e z\ge0.
  • A condição z\ge0 em coordenadas esféricas é \rho\cos\varphi\ge0. Como \rho\ge0, isso equivale a \cos\varphi\ge0, então \varphi varia entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
  • O ângulo azimutal \theta já estava entre 0 e \pi na descrição cilíndrica, e em esféricas o mesmo \theta mantém o mesmo significado, portanto continua \theta\in[0,\pi].
  • Conclusão dos limites: \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \rho\in[0,5].

Passo 5

Juntando integrando transformado e limites, a integral em coordenadas esféricas (mantendo a ordem externa \theta, depois \varphi, depois \rho) fica
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{5} \rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{5} \rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta \, d\rho\, d\varphi\, d\theta

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