Escreva a seguinte integral(dada em coordenadas cilíndricas) em coordenadas esféricas
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a integral fornecida (que está em coordenadas cilíndricas) em coordenadas esféricas. A integral dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- As variáveis são as de coordenadas cilíndricas:
(raio no plano ), (altura) e (ângulo azimutal no plano ). - Limites:
vai de a ; vai de a ; vai de a . - Integrando-se a função
com o diferencial . - A tarefa é apenas trocar a expressão para coordenadas esféricas (não calcular o valor numérico).
Passo 2
Vamos lembrar as definições das coordenadas esféricas e as relações com as coordenadas cilíndricas (explicando o que cada letra significa):
- Em coordenadas esféricas usa-se
para a distância ao origem, para o ângulo polar (ângulo entre o vetor posição e o eixo , ), e para o ângulo azimutal no plano (o mesmo das coordenadas cilíndricas). - As relações entre as coordenadas são
Aqui:
é o raio esférico,
mede o “desvio” em relação ao eixo
(se
está sobre o eixo
), e
é o ângulo no plano
.
- O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Também convém lembrar que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 3
Primeiro explique como tratar o integrando e o diferencial dado:
- A expressão original
pode ser vista como . Ou seja,
porque
em coordenadas cilíndricas. Essa é uma forma útil: identificar a função escalar integrada
e multiplicá‑la pelo elemento de volume
.
- Agora substituímos
e o elemento de volume esférico . Fazendo isso:
e
Multiplicando,
Portanto a parte integranda transformada (função vezes diferencial de volume) é
.
Passo 4
Agora vamos encontrar os limites de integração em
que descrevem a mesma região:
- A desigualdade
com descreve os pontos satisfazendo e . Em termos esféricos isso é simplesmente e . - A condição
em coordenadas esféricas é . Como , isso equivale a , então varia entre e . - O ângulo azimutal
já estava entre e na descrição cilíndrica, e em esféricas o mesmo mantém o mesmo significado, portanto continua . - Conclusão dos limites:
, , .
Passo 5
Juntando integrando transformado e limites, a integral em coordenadas esféricas (mantendo a ordem externa
, depois
, depois
) fica