Em cada caso, escreva a integral(dada em coordenadas retangulares) em coordenadas cilíndricas e esféricas
\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \int_{a}^{a+\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} x d z d y d x

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (considerei \,a>0, pois os limites usam -a a a).
  • Integral dada:
\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \int_{a}^{a+\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} x \, dz\, dy\, dx.
  • Pergunta: escrever essa mesma integral
    1. em coordenadas cilíndricas;
    2. em coordenadas esféricas (padrão: \rho,\varphi,\theta, com \varphi ângulo polar desde o eixo z e \theta azimute no plano xy).
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • A projeção no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}, porque y vai de -\sqrt{a^{2}-x^{2}} a \sqrt{a^{2}-x^{2}} enquanto x vai de -a a a.
    • Para cada (x,y) nesse disco, z varia de z=a até z=a+\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
    • A condição 0\le z-a\le\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} é equivalente a x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}\le a^{2},\quad z\ge a,ou seja: região é a metade superior da esfera de raio a centrada em (0,0,a) (a “semiesfera” com z\in[a,2a]).

Passo 2

Conversão para coordenadas cilíndricas: definição e jacobiano (aula rápida e prática).
  • Definições (padrão cilindricas): x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.Aqui r\ge0 é a distância ao eixo z (no plano xy), \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy, e z é a coordenada vertical usual.
  • Jacobiano (determinante da transformação (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z)): ao passar de dx\,dy\,dz para r\,dr\,d\theta\,dz aparece um fator r. Ou seja, dV = dx\,dy\,dz = r\, dr\, d\theta\, dz.Sempre bom decorar: em coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Determinar os limites em cilíndricas usando a descrição da região.
  • A projeção no plano xy é o disco de raio a, portanto \theta varia por todo [0,2\pi] e r varia de 0 a a: 0\le r\le a,\qquad 0\le\theta\le2\pi.(Explicação: x^{2}+y^{2}\le a^{2} vira r^{2}\le a^{2}.)
  • Para dado r, os limites em z dados no enunciado são z=a\quad\text{até}\quad z=a+\sqrt{a^{2}-r^{2}}.é(Observe que substituí x^{2}+y^{2}=r^{2} dentro da raiz.)
  • O integrando original é x. Em coordenadas cilíndricas x=r\cos\theta. Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando final r\cos\theta\cdot r = r^{2}\cos\theta.
Portanto a integral em coordenadas cilíndricas fica:
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a}\int_{z=a}^{\,a+\sqrt{a^{2}-r^{2}}} r^{2}\cos\theta \; dz\, dr\, d\theta.

Passo 4

Conversão para coordenadas esféricas: definição, jacobiano e expressão do integrando.
  • Definições (padrão esféricas): x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi,com \rho\ge0 (distância ao origem), \varphi\in[0,\pi] (ângulo polar medido a partir do eixo z positivo) e \theta\in[0,2\pi) (azimute).
  • Jacobiano em esféricas: dV = dx\,dy\,dz = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • O integrando x em esféricas é x=\rho\sin\varphi\cos\theta. Multiplicando pelo jacobiano obtemos o integrando x\,dV = (\rho\sin\varphi\cos\theta)\cdot(\rho^{2}\sin\varphi)\, d\rho\, d\varphi\, d\theta = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Determinar os limites em esféricas resolvendo as desigualdades da região na base das relações esféricas.
  • A condição de ponto estar na esfera centrada em (0,0,a) de raio a é x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}\le a^{2}.Substituindo x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi e z=\rho\cos\varphi obtemos: \rho^{2}\sin^{2}\varphi + (\rho\cos\varphi - a)^{2}\le a^{2}.Expandindo e simplificando ( \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1) dá: \rho^{2} - 2a\rho\cos\varphi \le 0 \quad\Longrightarrow\quad 0\le \rho \le 2a\cos\varphi.(Nota: isso exige \cos\varphi\ge0, i.e. \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].)
  • Além disso, o enunciado impõe z\ge a. Em esféricas isso vira \rho\cos\varphi \ge a \quad\Longrightarrow\quad \rho \ge \frac{a}{\cos\varphi},desde que \cos\varphi>0.
  • Para que haja valores de \rho satisfazendo simultaneamente \frac{a}{\cos\varphi}\le \rho \le 2a\cos\varphié necessário que \dfrac{a}{\cos\varphi}\le 2a\cos\varphi, ou seja \cos^{2}\varphi \ge \tfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi\ge \frac{1}{\sqrt{2}}o que corresponde a 0\le \varphi \le \frac{\pi}{4}.(No caso \varphi=\tfrac{\pi}{4} as duas desigualdades coincidem e \rho tem um único valor \rho=a\sqrt{2}, que é o círculo de interseção z=a.)
  • Conclusão dos limites esféricos: 0\le\theta\le2\pi,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\qquad \frac{a}{\cos\varphi}\le\rho\le 2a\cos\varphi.

Passo 6

Escrever a integral final em coordenadas esféricas usando o integrando transformado:
A integral em esféricas é
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\pi/4} \int_{\rho=\frac{a}{\cos\varphi}}^{2a\cos\varphi} \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta \; d\rho\, d\varphi\, d\theta,
onde o integrando e os limites foram obtidos e justificados nos passos anteriores.

Resposta

\text{Cilíndricas:}\qquad \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a}\int_{z=a}^{\,a+\sqrt{a^{2}-r^{2}}} r^{2}\cos\theta \; dz\, dr\, d\theta.í
\text{Esféricas:}\qquad \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\pi/4} \int_{\rho=\frac{a}{\cos\varphi}}^{2a\cos\varphi} \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta \; d\rho\, d\varphi\, d\theta.é

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