Em cada caso, escreva a integral(dada em coordenadas retangulares) em coordenadas cilíndricas e esféricas
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (considerei
, pois os limites usam
a
).
- Integral dada:
-
Pergunta: escrever essa mesma integral
- em coordenadas cilíndricas;
- em coordenadas esféricas (padrão:
, com ângulo polar desde o eixo e azimute no plano ).
-
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A projeção no plano
é o disco , porque vai de a enquanto vai de a . - Para cada
nesse disco, varia de até . - A condição
é equivalente a ou seja: região é a metade superior da esfera de raio centrada em (a “semiesfera” com ).
- A projeção no plano
Passo 2
Conversão para coordenadas cilíndricas: definição e jacobiano (aula rápida e prática).
- Definições (padrão cilindricas):
Aqui é a distância ao eixo (no plano ), é o ângulo azimutal no plano , e é a coordenada vertical usual. - Jacobiano (determinante da transformação
): ao passar de para aparece um fator . Ou seja, Sempre bom decorar: em coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale .
Passo 3
Determinar os limites em cilíndricas usando a descrição da região.
- A projeção no plano
é o disco de raio , portanto varia por todo e varia de a : (Explicação: vira .) - Para dado
, os limites em dados no enunciado são (Observe que substituí dentro da raiz.) - O integrando original é
. Em coordenadas cilíndricas . Multiplicando pelo jacobiano obtemos o integrando final .
Portanto a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 4
Conversão para coordenadas esféricas: definição, jacobiano e expressão do integrando.
- Definições (padrão esféricas):
com (distância ao origem), (ângulo polar medido a partir do eixo positivo) e (azimute). - Jacobiano em esféricas:
- O integrando
em esféricas é . Multiplicando pelo jacobiano obtemos o integrando
Passo 5
Determinar os limites em esféricas resolvendo as desigualdades da região na base das relações esféricas.
- A condição de ponto estar na esfera centrada em
de raio é Substituindo e obtemos: Expandindo e simplificando ( ) dá: (Nota: isso exige , i.e. .) - Além disso, o enunciado impõe
. Em esféricas isso vira desde que . - Para que haja valores de
satisfazendo simultaneamente é necessário que , ou seja o que corresponde a (No caso as duas desigualdades coincidem e tem um único valor , que é o círculo de interseção .) - Conclusão dos limites esféricos:
Passo 6
Escrever a integral final em coordenadas esféricas usando o integrando transformado:
A integral em esféricas é
onde o integrando e os limites foram obtidos e justificados nos passos anteriores.