Escreva as seguintes funções como combinações de funções degrau.
(g) f(t)= \begin{cases}t, & \text { se } t \in[0,1) \\\ t+2, & \text { se } t \in[1,2) \\\ t+t^{3}+1, & \text { se } t \in[2, \infty)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t < 1,\\\ t+2, & 1 \le t < 2,\\\ t + t^{3} + 1, & t \ge 2, \end{cases}
e pede para reescrevê-la como combinação de funções degrau u(t-a). Vamos usar o fato de que cada trecho pode ser “ligado” e “desligado” pelas diferenças u(t-a)-u(t-b), bem como ativado para t\ge2 por u(t-2).

Passo 2

Lembrando que a função degrau unitário u(t-a) vale
u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a, \end{cases}
então
u(t-a)-u(t-b)= \begin{cases} 1, & a\le t<b,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
Usaremos essas combinações para “isolar” cada intervalo.

Passo 3

Escrevemos f(t) diretamente como soma dos três trechos multiplicados pelas janelas correspondentes:
f(t) = t\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr) + (t+2)\bigl(u(t-1)-u(t-2)\bigr) + \bigl(t + t^3 + 1\bigr)\,u(t-2).
Aqui:
  • t\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr) ativa o trecho t só em 0\le t<1,
  • (t+2)\bigl(u(t-1)-u(t-2)\bigr) ativa t+2 só em 1\le t<2,
  • \bigl(t+t^3+1\bigr)u(t-2) ativa o terceiro trecho para t\ge2.

Passo 4

Se quisermos, podemos deixar mais enxuto, expandindo apenas os termos de degrau:
f(t) = t\,u(t) - t\,u(t-1) + t\,u(t-1) - t\,u(t-2) + 2\bigl(u(t-1)-u(t-2)\bigr) + t^3\,u(t-2) + 1\cdot u(t-2).
E dá para agrupar:
f(t) = t\,u(t) + 2\,u(t-1) + \bigl(t^3 -1\bigr)\,u(t-2),
pois -t\,u(t-1)+t\,u(t-1) se anulam e -2\,u(t-2) + 1\,u(t-2)= -1\,u(t-2).

Resposta

\boxed{ f(t) = t\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr) + (t+2)\bigl(u(t-1)-u(t-2)\bigr) + \bigl(t + t^3 + 1\bigr)\,u(t-2). }

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