Escreva as seguintes funções como combinações de funções degrau.
(h) f(t)= \begin{cases}\operatorname{sen} t, & \text { se } t \in[0,1) \\\ t+2 \cos 2 t, & \text { se } t \in[1,7) \\\\ 0, & \text { se } t \in[7, \infty)\end{cases}

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(t)= \begin{cases} \sin t, & t\in[0,1),\\\ t+2\cos(2t), & t\in[1,7),\\\\ 0, & t\in[7,\infty), \end{cases}
e pede para escrevê-la como combinação de funções degrau unitário. Vamos usar a ideia de ligar cada ramo a intervalos ativados por u(t-a).

Passo 2

Definimos a função degrau unitário
u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a. \end{cases}
Com ela, o trecho de f(t) em [a,b) fica multiplicado por [u(t-a)-u(t-b)].

Passo 3

Associamos cada ramo ao seu intervalo:
  • Para t\in[0,1): multiplicamos \sin t por [u(t)-u(t-1)].
  • Para t\in[1,7): multiplicamos t+2\cos(2t) por [u(t-1)-u(t-7)].
  • Para t\in[7,\infty): multiplicamos 0 por u(t-7), mas isso some.

Passo 4

Somando os dois primeiros termos obtemos a representação buscada:
f(t) =\sin t\,[u(t)-u(t-1)] +(t+2\cos(2t))\,[u(t-1)-u(t-7)].

Resposta

f(t)=\sin t\,[u(t)-u(t-1)] +(t+2\cos(2t))\,[u(t-1)-u(t-7)].

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