Escreva as seguintes funções como combinações de funções degrau.
(e) f(t)= \begin{cases}\cos t+t^{2}, & \text { se } t \in[0,1) \\\ \operatorname{sen} t+t^{2}, & \text { se } t \in[1, \infty)\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
f(t)=\begin{cases} \cos t + t^{2}, & t\in[0,1)\\\ \operatorname{sen} t + t^{2}, & t\in[1,\infty) \end{cases}
como combinação de funções degrau. Vamos usar a função de Heaviside u(t), definida por
u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\\\ 1, & t\ge0, \end{cases}
para “ligar” e “desligar” cada trecho.

Passo 2

A técnica geral para uma função que vale f_{1}(t) em [a,b) e f_{2}(t) em [b,\infty) é
f(t)=f_{1}(t)\bigl[u(t-a)-u(t-b)\bigr]+f_{2}(t)\,u(t-b).
Aqui temos a=0, b=1, f_{1}(t)=\cos t + t^{2} e f_{2}(t)=\operatorname{sen} t + t^{2}.

Passo 3

Substituindo na fórmula acima, obtemos
f(t) =(\cos t + t^{2})\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr]+(\operatorname{sen} t + t^{2})\,u(t-1).

Passo 4

Podemos expandir e combinar termos em u(t-1):
f(t) =(\cos t + t^{2})\,u(t)-(\cos t + t^{2})\,u(t-1)+(\operatorname{sen} t + t^{2})\,u(t-1)
\;\;=(\cos t + t^{2})\,u(t)+\bigl[\operatorname{sen} t + t^{2}-(\cos t + t^{2})\bigr]u(t-1)
\;\;=(\cos t + t^{2})\,u(t)+(\operatorname{sen} t-\cos t)\,u(t-1).

Resposta

f(t)=(\cos t + t^{2})\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr]+(\operatorname{sen} t + t^{2})\,u(t-1)
ou, de forma simplificada,
f(t)=(\cos t + t^{2})\,u(t)+(\operatorname{sen} t-\cos t)\,u(t-1).

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