Escreva as seguintes funções como combinações de funções degrau.
(d) f(t)=\left\{\begin{array}{lll}1, & \text { se } & t \in[0,2) \\\\ 3, & \text { se } & t \in[2,5) \\\\ 4, & \text { se } & t \in[5,16) \\\\ 11, & \text { se } & t \in[16, \infty)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= \begin{cases} 1, & t\in[0,2)\\\\ 3, & t\in[2,5)\\\\ 4, & t\in[5,16)\\\\ 11,& t\in[16,\infty) \end{cases}
e pede para escrevê-la como combinação de funções degrau. Vamos usar a função degrau unitário u(t), definida por
u(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\\ 1, & t\ge0. \end{cases}

Passo 2

Cada vez que f(t) “salta” de um valor para outro em t=a, adicionamos um termo \bigl(\text{novo valor}\;-\;\text{valor anterior}\bigr)\,u(t-a).
  • Em t=0, o valor pula de 0 (fora do domínio dado) para 1, então usamos 1\cdot u(t).
  • Em t=2, o valor sobe de 1 para 3, acréscimo 3-1=2, termo 2\,u(t-2).
  • Em t=5, sobe de 3 para 4, acréscimo 4-3=1, termo 1\,u(t-5).
  • Em t=16, sobe de 4 para 11, acréscimo 11-4=7, termo 7\,u(t-16).

Passo 3

Somando todos os termos, obtemos
f(t)=1\cdot u(t)\;+\;2\cdot u(t-2)\;+\;1\cdot u(t-5)\;+\;7\cdot u(t-16).

Resposta

f(t)=u(t)+2\,u(t-2)+u(t-5)+7\,u(t-16).

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