Escreva os seguintes números na forma trigonométrica e represente-os no plano de Argand:
z=4-4 i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=4-4i e pede duas coisas:
  • Escrever z na forma trigonométrica.
  • Representar z no plano de Argand (ou seja, indicar sua posição no plano complexo).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Parte real: \Re(z)=4.
  • Parte imaginária: \Im(z)=-4.

Passo 2

Vamos calcular o módulo (ou valor absoluto) de z. Lembre que, para z=x+iy,
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=\Re(z)=4 e y=\Im(z)=-4. Então
|z|=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
Explicação didática: o módulo é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano. Calcula-se com o teorema de Pitágoras: distância = raiz da soma dos quadrados das coordenadas.

Passo 3

Agora vamos achar o argumento (ângulo) \theta=\arg(z). A definição prática é
\tan\theta=\frac{\Im(z)}{\Re(z)}=\frac{y}{x}.
Substituindo x=4 e y=-4,
\tan\theta=\frac{-4}{4}=-1.
Saber que \tan\theta=-1 nos dá, como solução básica, \theta=-\dfrac{\pi}{4} (ou qualquer ângulo coterminal). Mas atenção: é preciso checar em que quadrante o ponto está para escolher o ângulo correto. O ponto (4,-4) tem x>0 e y<0, portanto está no quarto quadrante; nesse quadrante o ângulo principal é negativo medido a partir do eixo positivo dos reais, então
\theta=-\frac{\pi}{4}.
Também se pode dar o ângulo equivalente positivo coterminal:
\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}.
Didática curta sobre quadrantes: se x>0 e y>0 é Q1, x<0,y>0 Q2, x<0,y<0 Q3, x>0,y<0 Q4. O sinal de seno e cosseno muda conforme o quadrante e isso afeta a escolha do \theta.

Passo 4

Escrevendo z na forma trigonométrica, usamos a fórmula
z = |z|\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Substituindo os valores que encontramos:
z = 4\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).
Verificação rápida (útil na prova): \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Multiplicando por 4\sqrt{2} obtemos
4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4 \qquad\text{e}\qquad 4\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-4,
ou seja, recuperamos 4-4i.

Passo 5

Como representar no plano de Argand (passo a passo prático para desenhar na prova):
  • Desenhe dois eixos perpendiculares; eixo horizontal é o eixo dos reais ( \Re), eixo vertical é o eixo dos imaginários ( \Im).
  • Marque a coordenada \Re=4 no eixo horizontal e a coordenada \Im=-4 no eixo vertical (para baixo, pois é negativa). O ponto do número complexo é (4,-4).
  • Desenhe o vetor (flecha) desde a origem (0,0) até o ponto (4,-4). Esse vetor tem comprimento |z|=4\sqrt{2} e faz ângulo \theta=-\dfrac{\pi}{4} com o eixo real positivo (medido no sentido horário).
  • Em coordenadas polares, esse ponto pode ser escrito como (r,\theta)=(4\sqrt{2},-\tfrac{\pi}{4}) ou (4\sqrt{2},\tfrac{7\pi}{4}).

Resposta

z=4\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)
No plano de Argand: ponto de coordenadas \,(4,-4)\, (ou, em coordenadas polares, (r,\theta)=(4\sqrt{2},-\tfrac{\pi}{4}) ).

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