Escreva os seguintes números na forma trigonométrica e represente-os no plano de Argand:
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede duas coisas:
- Escrever
na forma trigonométrica. - Representar
no plano de Argand (ou seja, indicar sua posição no plano complexo).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Passo 2
Vamos calcular o módulo (ou valor absoluto) de
. Lembre que, para
,
Aqui
e
. Então
Explicação didática: o módulo é a distância do ponto
até a origem no plano. Calcula-se com o teorema de Pitágoras: distância = raiz da soma dos quadrados das coordenadas.
Passo 3
Agora vamos achar o argumento (ângulo)
. A definição prática é
Substituindo
e
,
Saber que
nos dá, como solução básica,
(ou qualquer ângulo coterminal). Mas atenção: é preciso checar em que quadrante o ponto está para escolher o ângulo correto. O ponto
tem
e
, portanto está no quarto quadrante; nesse quadrante o ângulo principal é negativo medido a partir do eixo positivo dos reais, então
Também se pode dar o ângulo equivalente positivo coterminal:
Didática curta sobre quadrantes: se
e
é Q1,
Q2,
Q3,
Q4. O sinal de seno e cosseno muda conforme o quadrante e isso afeta a escolha do
.
Passo 4
Escrevendo
na forma trigonométrica, usamos a fórmula
Substituindo os valores que encontramos:
Verificação rápida (útil na prova):
e
. Multiplicando por
obtemos
ou seja, recuperamos
.
Passo 5
Como representar no plano de Argand (passo a passo prático para desenhar na prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares; eixo horizontal é o eixo dos reais (
), eixo vertical é o eixo dos imaginários ( ). - Marque a coordenada
no eixo horizontal e a coordenada no eixo vertical (para baixo, pois é negativa). O ponto do número complexo é . - Desenhe o vetor (flecha) desde a origem
até o ponto . Esse vetor tem comprimento e faz ângulo com o eixo real positivo (medido no sentido horário). - Em coordenadas polares, esse ponto pode ser escrito como
ou .
Resposta
No plano de Argand: ponto de coordenadas