Escreva as séries abaixo como uma série cujo primeiro termo corresponde a
:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede que escrevamos essa mesma série mas com o primeiro termo correspondendo a
. Informações relevantes fornecidas:
- o índice na soma começa em
; - o termo geral é
; - a potência de
é .
O objetivo é reindexar (fazer uma mudança no índice) para que a soma comece em.
Passo 2
Método: fazer uma mudança de variável do índice para “deslocar” a soma. Isso é padrão quando a potência de
tem um deslocamento (
aqui). Faço a substituição
Explicando a razão: quando
temos
; quando
temos
. Assim o novo índice
varre exatamente
, que é o que queremos.
Passo 3
Agora escrevo
em função de
:
Substituo na expressão do termo geral:
torna-se
Portanto a soma reindexada é
É hábito renomear o índice
de volta para
(isso não altera a soma), obtendo a forma pedida com o primeiro termo em
.
Passo 4
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule os dois primeiros termos originais e reindexados.
- Original: para
o termo é . Para o termo é . - Reindexada: para
o termo é . Para o termo é .
Coincidem, então a reindexação está correta.