Escreva as séries abaixo como uma série cujo primeiro termo corresponde a n=0 :
\sum_{n=2}^{\infty} n(n+1) x^{n-2}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} n(n+1)\,x^{n-2}
e pede que escrevamos essa mesma série mas com o primeiro termo correspondendo a n=0. Informações relevantes fornecidas:
  • o índice na soma começa em n=2;
  • o termo geral é n(n+1)x^{n-2};
  • a potência de x é n-2.
    O objetivo é reindexar (fazer uma mudança no índice) para que a soma comece em 0.

Passo 2

Método: fazer uma mudança de variável do índice para “deslocar” a soma. Isso é padrão quando a potência de x tem um deslocamento ( n-2 aqui). Faço a substituição
k = n-2.
Explicando a razão: quando n=2 temos k=0; quando n\to\infty temos k\to\infty. Assim o novo índice k varre exatamente 0,1,2,\dots, que é o que queremos.

Passo 3

Agora escrevo n em função de k:
n = k+2.
Substituo na expressão do termo geral: n(n+1)x^{n-2} torna-se
(k+2)(k+3)\,x^{k}.
Portanto a soma reindexada é
\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+3)\,x^{k}.
É hábito renomear o índice k de volta para n (isso não altera a soma), obtendo a forma pedida com o primeiro termo em n=0.

Passo 4

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule os dois primeiros termos originais e reindexados.
  • Original: para n=2 o termo é 2\cdot3\cdot x^{0}=6. Para n=3 o termo é 3\cdot4\cdot x^{1}=12x.
  • Reindexada: para n=0 o termo é (0+2)(0+3)x^{0}=6. Para n=1 o termo é (1+2)(1+3)x^{1}=12x.
    Coincidem, então a reindexação está correta.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+3)\,x^{n}

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