Escreva as séries abaixo como uma série cujo primeiro termo corresponde a
:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede: escrever essa série de modo que o primeiro termo corresponda a
. Ou seja, reindexar a soma para que o índice comece em
. Não vamos resolver nada ainda, só anotar o que temos.
Passo 2
Ideia: trocar o índice por uma nova variável que comece em
. Faço a substituição
Agora explico por que essa escolha é boa: quando
temos
; quando
temos
. Além disso podemos escrever
em função de
como
. Substituo na série todas as ocorrências de
por
e ajusto o expoente:
Passo 3
Com isso a soma fica, em termos de
,
Como o nome do índice é só símbolo, posso renomear
de volta para
para ficar mais simples. Assim obtemos a série reindexada com início em
:
Passo 4
Para garantir que a reindexação está correta, comparemos os primeiros termos das duas formas. Na forma original:
Na forma reindexada:
Os termos batem, logo a reescrita está correta.
Passo 5
Uma forma útil para manipulações posteriores é fatorar
:
Podemos separar a soma:
Agora dou uma saída rápida sobre as séries que aparecem aqui (válidas para
):
- A série geométrica é
- Para obter
deriva-se a série geométrica termo a termo: partindo de e diferenciando em obtemos , logo
Passo 6
Usando essas fórmulas:
válido para
. Essa é a soma fechada correspondente, caso você queria o valor da série em vez apenas da reindexação.