Escreva as séries abaixo como uma série cujo primeiro termo corresponde a n=0 :
\sum_{n=3}^{\infty} n x^{n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=3}^{\infty} n x^{n+1}
e pede: escrever essa série de modo que o primeiro termo corresponda a n=0. Ou seja, reindexar a soma para que o índice comece em 0. Não vamos resolver nada ainda, só anotar o que temos.

Passo 2

Ideia: trocar o índice por uma nova variável que comece em 0. Faço a substituição
m = n-3.
Agora explico por que essa escolha é boa: quando n=3 temos m=0; quando n\to\infty temos m\to\infty. Além disso podemos escrever n em função de m como n=m+3. Substituo na série todas as ocorrências de n por m+3 e ajusto o expoente:
n x^{n+1} \longrightarrow (m+3) x^{(m+3)+1} = (m+3) x^{m+4}.

Passo 3

Com isso a soma fica, em termos de m,
\sum_{m=0}^{\infty} (m+3) x^{m+4}.
Como o nome do índice é só símbolo, posso renomear m de volta para n para ficar mais simples. Assim obtemos a série reindexada com início em n=0:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+3) x^{n+4}.

Passo 4

Para garantir que a reindexação está correta, comparemos os primeiros termos das duas formas. Na forma original:
\text{para } n=3:\; 3x^{4},\qquad n=4:\; 4x^{5},\qquad n=5:\; 5x^{6},\\ \ldots
Na forma reindexada:
\text{para } n=0:\; (0+3)x^{0+4}=3x^{4},\qquad n=1:\; (1+3)x^{1+4}=4x^{5},\\ \ldots
Os termos batem, logo a reescrita está correta.

Passo 5

Uma forma útil para manipulações posteriores é fatorar x^{4}:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+3) x^{n+4} = x^{4}\sum_{n=0}^{\infty} (n+3) x^{n}.
Podemos separar a soma:
x^{4}\sum_{n=0}^{\infty} (n+3) x^{n} = x^{4}\left(\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n} + 3\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right).
Agora dou uma saída rápida sobre as séries que aparecem aqui (válidas para |x|<1):
  • A série geométrica é \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}.
  • Para obter \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n} deriva-se a série geométrica termo a termo: partindo de \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\dfrac{1}{1-x} e diferenciando em x obtemos \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}, logo
\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 6

Usando essas fórmulas:
x^{4}\left(\frac{x}{(1-x)^{2}} + 3\cdot\frac{1}{1-x}\right) = \frac{x^{5}}{(1-x)^{2}} + \frac{3x^{4}}{1-x} = \frac{x^{4}(3-2x)}{(1-x)^{2}},
válido para |x|<1. Essa é a soma fechada correspondente, caso você queria o valor da série em vez apenas da reindexação.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+3) x^{n+4}

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