Escreva em termos de funções degrau unitário e encontre a transformada de Laplace:
f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<\frac{3 \pi}{2} \\\ \sin (t), & t \geq \frac{3 \pi}{2}\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<\tfrac{3\pi}{2},\\\ \sin(t),&t\ge\tfrac{3\pi}{2}, \end{cases}
e pede (1) escrever f(t) em termos da função degrau unitário u(t) e (2) encontrar sua transformada de Laplace. Para isso vamos usar o Teorema do Deslocamento no Tempo e as fórmulas básicas de transformada de Laplace de \sin e \cos.

Passo 2

Repare que f(t) só “liga” em t=\tfrac{3\pi}{2}. Logo podemos escrever
f(t)=\sin(t)\,u\!\bigl(t-\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Deslocamento no Tempo, definimos a=\tfrac{3\pi}{2} e fazemos a mudança de variável
\tau = t - a,
de modo que
\sin(t)=\sin(\tau + a) \quad\text{e}\quad u(t-a)=u(\tau).
Então podemos ver f(t) como
f(t)=\bigl[\sin(\tau+a)\bigr]\,u(\tau),
e a transformada satisfaz
\mathcal{L}\{f(t)\} =e^{-as}\,\int_{0}^{\infty}\sin(\tau+a)\,e^{-s\tau}\,d\tau.

Passo 4

Usamos a identidade de soma de ângulos em \sin(\tau+a):
\sin(\tau+a)=\sin(a)\cos(\tau)+\cos(a)\sin(\tau).
Logo precisamos das integrais
\int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}\cos(\tau)\,d\tau =\frac{s}{s^{2}+1}, \qquad \int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}\sin(\tau)\,d\tau =\frac{1}{s^{2}+1}.
Assim o integral fica
\int_{0}^{\infty}\sin(\tau+a)\,e^{-s\tau}\,d\tau =\sin(a)\,\frac{s}{s^{2}+1} +\cos(a)\,\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 5

Substituindo a=\tfrac{3\pi}{2} temos
\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1, \qquad \cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,
logo
\int_{0}^{\infty}\sin\bigl(\tau+\tfrac{3\pi}{2}\bigr)e^{-s\tau}d\tau =-1\cdot\frac{s}{s^{2}+1} +\;0 =-\frac{s}{s^{2}+1}.
Multiplicando pelo fator e^{-as}=e^{-\tfrac{3\pi}{2}s} do deslocamento, obtemos a transformada.

Resposta

f(t) em termos de degrau unitário:
f(t)=\sin(t)\,u\!\bigl(t-\tfrac{3\pi}{2}\bigr).
Transformada de Laplace:
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =-\frac{s}{s^{2}+1}\;e^{-\tfrac{3\pi}{2}s}.

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