Encontre F(s) ou f(t) como indicado:
L\left\{t e^{2 t} \sin (6 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
F(s)=\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\sin(6t)\}.
O conteúdo principal é a propriedade de Laplace \mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}\bigr].
Para usar essa propriedade, vamos primeiro achar \mathcal{L}\{e^{2t}\sin(6t)\}.

Passo 2

Sabendo que
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(b t)\} =\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}},
substituímos a=2 e b=6. Assim
G(s)=\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(6t)\} =\frac{6}{(s-2)^{2}+36}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade \mathcal{L}\{t\,f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}[\mathcal{L}\{f(t)\}].
Aqui f(t)=e^{2t}\sin(6t) e G(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, logo
F(s)=\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\sin(6t)\} =-\frac{d}{ds}\bigl[G(s)\bigr] =-\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{6}{(s-2)^{2}+36}\Bigr].

Passo 4

Calculemos a derivada. Seja H(s)=(s-2)^{2}+36. Então
G(s)=6\,H(s)^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dG}{ds} =6\cdot(-1)\,H(s)^{-2}\cdot\frac{dH}{ds} =-6\cdot\frac{2(s-2)}{\bigl((s-2)^{2}+36\bigr)^{2}} =-\frac{12\,(s-2)}{\bigl((s-2)^{2}+36\bigr)^{2}}.
Portanto
F(s) =-\frac{dG}{ds} =\frac{12\,(s-2)}{\bigl((s-2)^{2}+36\bigr)^{2}}.

Resposta

F(s)=\frac{12\,(s-2)}{\bigl((s-2)^{2}+36\bigr)^{2}}.

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